正弦定理和余弦定理习题及答案

正弦定理和余弦定理测试题一、选择题：1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－223B.223C．－63D.632．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°3．E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝()A.1627B.23C.33D.344．△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg2且B∈0，π2，则△ABC的形状是()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形5．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为()A．1＋3B．3＋3C.3＋33D．2＋36．已知锐角A是△ABC的一个内角，a、b、c是三角形中各内角的对应边，若sin2A－cos2A＝12，则()A．b＋c＝2aB．b＋c2ªC．b＋c≤2aD．b＋c≥2a7、若ABC的内角A满足2sin23A，则sincosAAA.153B．153C．53D．538、如果111ABC的三个内角的余弦值分别等于222ABC的三个内角的正弦值，则A．111ABC和222ABC都是锐角三角形B．111ABC和222ABC都是钝角三角形C．111ABC是钝角三角形，222ABC是锐角三角形D．111ABC是锐角三角形，222ABC是钝角三角形9、ABC的三内角,,ABC所对边的长分别为,,abc设向量(,)pacb,(,)qbaca,若//pq,则角C的大小为(A)6(B)3(C)2(D)2310、已知等腰ABC△的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（）Ａ．32Ｂ．3Ｃ．158Ｄ．15711、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且2ca，则cosBA．14B．34C．24D．2312、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=3,a=3,b=1，则c=(A)1（B）2（C）3—1（D）3二、填空题：13、在ABC中，若sin:sin:sin5:7:8ABC，则B的大小是___________.14、在ABC中，已知433a，b＝4，A＝30°，则sinB＝.15、在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝16、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．三、解答题：17。、已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a＋b＝a1tanA＋b1tanB，求内角C.18、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．19、如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．20、已知ABC△的周长为21，且sinsin2sinABC．（I）求边AB的长；（II）若ABC△的面积为1sin6C，求角C的度数．21、△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，.43cosB（Ⅰ）求cotA+cotC的值；（Ⅱ）设32BABC，求a＋c的值.22、某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30，海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离．答案1.解析：依题意得0°B60°，由正弦定理得asinA＝bsinB得sinB＝bsinAa＝33，cosB＝1－sin2B＝63，选D.2.解析：由sinC＝23sinB可得c＝23b，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋c22bc＝32，于是A＝30°，故选A.3.解析：设AC＝1，则AE＝EF＝FB＝13AB＝23，由余弦定理得CE＝CF＝AE2＋AC2－2AC·AEcos45°＝53，所以cos∠ECF＝CE2＋CF2－EF22CE·CF＝45，所以tan∠ECF＝sin∠ECFcos∠ECF＝1－45245＝34.答案：D4.解析：∵lga－lgc＝lgsinB＝－lg2，∴lgac＝lgsinB＝lg22.∴ac＝sinB＝22.∵B∈0，π2，∴B＝π4，由c＝2a，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝3a2－b222a2＝22.∴a2＝b2，∴a＝b.答案：D5.解析：2b＝a＋c，12ac·12＝12⇒ac＝2，a2＋c2＝4b2－4，b2＝a2＋c2－2ac·32⇒b2＝4＋233⇒b＝3＋33.答案：C6.解析：由sin2A－cos2A＝12，得cos2A＝－12，又A是锐角，所以A＝60°，于是B＋C＝120°.所以b＋c2a＝sinB＋sinC2sinA＝2sinB＋C2cosB－C23＝cosB－C2≤1，b＋c≤2a.答案：c7.解：由sin2A＝2sinAcosA0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA0，又25(sincos)1sin23AAA，故选A8.解：111ABC的三个内角的余弦值均大于0，则111ABC是锐角三角形，若222ABC是锐角三角形，由211211211sincossin()2sincossin()2sincossin()2AAABBBCCC，得212121222AABBCC，那么，2222ABC，所以222ABC是钝角三角形。故选D。9.【解析】222//()()()pqaccabbabacab，利用余弦定理可得2cos1C，即1cos23CC，故选择答案B。【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。10.解：依题意，结合图形可得15tan215A，故221522tan15152tan7151tan1()215AAA，选D11.解：ABC中，a、b、c成等比数列，且2ca，则b=2a，222cos2acbBac=222242344aaaa，选B.12.解：由正弦定理得sinB＝12，又ab，所以AB，故B＝30，所以C＝90，故c＝2，选B二、填空13.解：sin:sin:sin5:7:8ABCabc＝578设a＝5k，b＝7k，c＝8k由余弦定理可解得B的大小为3.14.解：由正弦定理易得结论sinB＝32。15.【正确解答】由正弦定理得，sin45sin60ACBC解得46AC【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理16.解析:由ABC的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得3BAD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得3AD。本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。三、解答题：(17-21题12分，22题14分，写出证明过程或推演步骤．)17。、已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a＋b＝a1tanA＋b1tanB，求内角C.解：由a＋b＝a1tanA＋b1tanB及正弦定理得sinA＋sinB＝cosA＋cosB，即sinA－cosA＝cosB－sinB，从而sinAcosπ4－cosAsinπ4＝cosBsinπ4－sinBcosπ4，即sinA－π4＝sinπ4－B.又0A＋Bπ，故A－π4＝π4－B，A＋B＝π2，所以C＝π2.18、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，又A∈(0，π)，故A＝120°.(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝12.因为0°B90°，0°C90°，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形．19、如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．解：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝AD·sin∠ADBsinB＝10sin60°sin45°＝10×3222＝56.20、已知ABC△的周长为21，且sinsin2sinABC．（I）求边AB的长；（II）若ABC△的面积为1sin6C，求角C的度数．解：（I）由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB，两式相减，得1AB．（II）由ABC△的面积11sinsin26BCACCC，得13BCAC，由余弦定理，得222cos2ACBCABCACBC22()2122ACBCACBCABACBC，所以60C．21、△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，.43cosB（Ⅰ）求cotA+cotC的值；（Ⅱ）设32BABC，求a＋c的值.分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等．解：（Ⅰ）由,47)43(1sin,43cos2BB得由b2=ac及正弦定理得.sinsinsin2CAB则BCACAACACCCAACACA2sin)sin(sinsinsincoscossinsincossincostan1tan1cotcot.774sin1sinsin2BBB（Ⅱ）由32BABC，得ca•cosB＝32，由ㄋB＝34，可得ac＝2，即b2＝2．由余弦定理b2=a2+c2－2ac+cosB，得a2+c2=b2+2ac·cosB=5.3,9452)(222caaccaca22、某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30，海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离．解：如图，在△ABP中，AB=30×6040=20，∠APB=30，∠BAP=120，由正弦定理，得：BPAABsin=BAPBPsin，即2120=23BP，解得BP=320．在△BPC中，BC=30×6080=40，由已知∠PBC=90，∴PC=22BCPB=2220)320(=720(海里)．所以P、C间的距离为720海里．评析：上述两例是在准确理解方位角的前提下，合理运用正弦定理把问题解决，因此，用正弦定理解有关应用问题时，要注意问题中的一些名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等．