信号与系统(第一章)

绪论课程主要内容：一、两个系统连续系统和离散系统。重点讨论线性时不变时间系统。二、两种分析方法时域分析方法和变域分析方法。三、三大数学变换1、傅里叶变换2、拉普拉斯变换3、Z变换第1章信号与系统的基本概念1.1概述（1）信息与信号信息是信号的内容，信号是信息载体（信息的表现形式）。（2）信号与系统系统对（输入）信号加工（处理或操作）,产生新的（输出）信号。系统是由若干相互关联又相互作用的事物组合而成，具有某些特定功能的整体。信号的产生、传输、加工和处理离不开系统，系统的特定功能是用其输入与输出信号的变换关系来描述的。信号与系统两者间是密不可分的。一个简单的信号消噪(平滑)系统：中位数滤波器取{f(n+p)}在(-q≤p≤q)2q+1个数的中间值f(m)g(n)=f(m)输入信号f(n)输出信号g(n)01002003004005006007008009001000-100-80-60-40-2002040608010001002003004005006007008009001000-100-80-60-40-20020406080100本例中q=1，即相邻三点取中间值。1.2信号的描述与分类1.2.1信号的描述信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。信号可以是时间的一元函数，也可以是空间的二元函数，还可以是变换域中变量的函数。信号通过数学表达式描述。1.2.2信号的分类1、确定信号与随机信号可用确定性图形、曲线或数学公式准确描述的信号称为确定信号。否则称为随机信号。对于f2(t)，在其间断点处，可做如下补充定义：如间断点t=1处定义f2(1)=(f2(1-)+f2(1+))/2=(1-1)/2=0或定义f2(1)=1,f2(t)=-1(1t≤2)2、连续信号与离散信号(1)连续信号在连续的时间范围内(-∞t∞)有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。常称为模拟信号。连续信号在其定义域上连续取值，函数值不一定连续；而连续函数是指函数值连续，因此连续函数为连续信号，反之却不一定。（2）离散信号仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。常称为数字信号。“离散”指信号的定义域----时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间点无定义。1,12,01.5,1()2,20,31,40,nnnfnnnnotherwise(),0,1,2,1.5,2,0,1,0,fn0n3、周期信号和非周期信号连续周期信号f(t)满足：f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…(1.1)离散周期信号f(n)满足：f(n)=f(n+mN)，m=0,±1,±2,…(1.2)满足上述关系的最小T或整数N称为该信号的周期。[0，T]，0~（N-1）称为连续和离散周期信号的主值区间。不满足条件(1.1)或(1.2)的信号称为非周期信号。例1.1考察连续信号，判断上述信号是否为周期信号，若为周期信号，则其周期为多少？1()sin2cos3fttt2()cos2sinfttt解：对于信号而言，与的周期分别为与（最小周期）而为和的周期，显然它们的最小公共周期为。故信号f1(t)为周期信号。21()ftsin2tcos3tsin2tcos3t23,,3,222,2,,33233判断准则两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则两周期信号的代数和仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公因子(x(t)，y(t)的最小公共周期)。对信号f2(t)，按上述判断准则，其为非周期信号。解：设抽样间隔（抽样周期）为Ts，于是例1.2正弦序列为连续周期信号等间隔抽样后所得，试分析该正弦序列为周期序列的条件，若为周期序列，其周期？0()sin()fnn()sin()ftt02()sin()sin()2sin()sin()ssfntttnTtnTTTsnnT•当2π/ω0为有理数，有2π/ω0=T/Ts=P/Q,其含义是正弦序列的抽样间隔是通过取周期信号f(t)的Q个周期段，并取这个时长的P等分后得到的，故而这个正弦序列是周期的，其周期为P。•当2π/ω0为无理数时，无论取多少个周期段，均无法用整数等分的方式获得抽样间隔，因此这样的序列为非周期序列。4、能量信号与功率信号（1）能量信号对于连续信号，如果有（1.3）对于离散信号，如果有（1.4）则称和为能量信号。不满足(1.3)或(1.4)的信号称为能量无限信号。例如：一个单边衰减的指数信号为能量信号。而周期信号为能量无限信号。2()ftdt()ft2()fn(0,0)tAetcos()t()ft()fn()fn（2）功率信号对于连续信号，如果有（1.5）对于离散信号，如果有（1.6）则称f(t)和f(n)为功率信号。不满足式(1.5)或(1.6)的信号称为功率无限信号。()ft/2/221lim()TTTftdtT()fn2/2/21lim()NNkNfnN若信号f(t)为能量信号，则其也为功率信号。工程中常用的一般能量无限信号的平均功率是有限的。如周期信号为功率信号。5、一维信号与多维信号从信号数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为一维或多维信号。语音信号可表示为声压随时间变化的函数，这是一维信号。而一张黑白图像每个点(像素)具有不同的光强度，任一点的光强度又是二维平面坐标中两个变量的函数，这是二维信号。视频信号为三维信号，现实生活场景为四维信号。本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。一维信号常称作时间信号。因果信号反因果信号1.3常用典型信号1、正弦信号（1.7）其中，为幅值，为初相位，为角频率。其周期，频率与角频率的关系为（1.8）6、因果信号与反因果信号(),(()0,0)ftftt(),(()0,0)ftftt()sin()ftAtATf12Tf(),(g()0,0)gnnn(),(()0,0)gngnn当为实常数时随时间t的增加单调增随时间t的增加单调减为直流信号当为复常数时利用Euler公式，得当时，f(t)的实部与虚部分别随t的增加单调增。当时，f(t)的实部与虚部分别随t的增加单调减。2、指数信号（1.9）其中为常数，为常数（实常数或复常数）。()tftAeA0,()0,()0,()ftftftA()()tjtftAeAej()()(cossin)jtjtttftAeAeeAetjt003、抽样信号（1.10）其为偶函数，具有如下特性：定义有最大值有局部极值sin()tSatt0()/2Satdt()Satdt0()())~,(ySiySatdtSiyy,()2,3,...()ySiyySiy抽样信号不是实际物理装置能产生的信号，但在信号分析中有重要地位。5、单位阶跃序列（1.12）依据单位样值信号与单位阶跃序列的定义，有，（1.11）根据单位样值信号定义，有4、单位样值信号1=0()00nnn1=()0nmnmnm10()00nunn0()()knkun()()(1)nunun1、斜变函数（1.13）•，•利用单位阶跃函数可方便表示单边信号，如，等。•利用单位阶跃信号可用来表示矩脉冲函数。2、单位阶跃函数（1.14）1.4奇异信号0()00ttRtt10()00tutt()()Rttut()()dRtutdt()tAeut01()()()Gtuttuttsin()()tAetut（1.15)符号函数可用如下双边奇指数信号的极限来描述符号函数与单位阶跃信号的关系3、符号函数1sgn()1t0tt00()0ttetftet0sgn()lim()tftsgn()2()1tut4、单位冲激函数“冲激函数”为描述作用时间极短，相应作用量值极大的一类物理现象的数学抽象。0从某些函数的极限定义单位冲激函数用矩形脉冲逼近单位冲激函数（1）单位冲激函数的定义()lim()kktSakt还可选取其他函数来定义，如抽样函数面积=101()lim()()22tutut（1.16）幅度=∞强度=1狄拉克（Dirac）定义，（1.17）此定义与(1.16)的定义相符合。（2）单位冲激函数的性质•取样特性若在处连续，其值为，则有•筛选特性若在处连续，其值为，则有，类似有•为偶函数，即•微分特性•尺度特性()ft0tt0()ft000()()()()ftttfttt()ft0t(0)f-()()(0)fttdtf00-()(-)()ftttdtft()()tt()t()()duttdt1()()atta()()01tdtt0t由狄拉克函数定义(1.17)，可知00-00()()()()()()()()(0)fttdtfttdtfttdtfttdtf000-()(-)()()tftdftutt-sin()()4ttdt0.9-7sin()()4ttdt130cos(2)(1)tettdt112()td21(1)()td2()tdeutdt222202(1)(1)tutut()ut22()()teutt例1.3综合举例•若在处连续，则•冲激偶函数是奇函数，即4、单位冲激偶信号单位冲激函数的微分定义为单位冲激偶函数，记为。按冲激函数定义(1.16)，单位冲激偶函数可看作矩形脉冲求导后，时的极限，如下图所示。单位冲激偶函数在零点处有正负一对冲激，其强度为无穷大。()dtdt()t0()ft0tt00-()(-)()ftttdtft()0tdt1.5系统的描述与分类1.5.1系统的描述为了便于分析系统，需要建立系统模型。所谓模型，是系统物理特性的数学抽象。1、连续时间系统的描述连续时间系统通常用微分方程来描述（代数方程，一阶或高阶微分方程，非线性微分方程或微分方程组）。一个n阶微分方程（SISO）可能是（1.18）1110111101()()()()()()()()nnnnnnmmmmmmdrtdrtdrtaaaartdtdtdtdetdetdetbbbbetdtdtdt0na单输入单输出系统还可借助方框图表示系统模型。如2、离散时间系统的描述离散时间系统的输入与输出是离散的时间序列,常用差分方程来描述。N阶差分方程(a0≠0)(SISO)有如下两种形式后向差分方程（1.19）前向差分方程（1.20）012012()(1)(2)()()(1)(2)()NMarnNarnNarnNarnbenbenbenbenM012012()(1)(2)()()(1)(2)()NMarnNarnNarnNarnbenbenbenbenM1.5.2系统的分类1、连续时间系统与离散时间系统系统描述中已讨论。除此外，还有混合系统。2、动态系统与即时系统若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记