概率统计和随机过程课件8.3 置信区间

设总体分布含有一未知参数，又x1,x2,,xn为来自于总体的样本，若对于给定(01)，统计量1(x1,x2,,xn)和2(x1,x2,,xn)满足1121{(,,)(,,)}1nnPxxxx则称区间[1,2]为相应于置信度是1-的置信区间，简称置信区间。一、置信区间第三节置信区间1,2分别称为置信下限和置信上限.(1-)称为置信度。注意：区间[1,2]是随机区间。二、单侧置信限若对于给定的(01),统计量1(x1,x2,,xn)满足1)},,({11nxxP2则称区间[1,+)为相应于置信度是1-的单侧置信区间，1称为置信度是1-的单侧置信下限。类似，满足下式问题:如何确定总体参数的区间估计[1,2]呢？对于一般总体是难于确定的.现仅能确定正态总体N(,2)中参数,2的区间估计这对许多实际应用已经够了.21{(,,)}1nPxx的2为单侧置信上限。第四节正态分布均值和方差的区间估计4抽样本分布的某些结论(Ⅰ)一个正态总体)1(~)1(22122nXXSnnii22)1(Sn与X相互独立设22)(,)(),(~XDXENX总体的样本为()，则),(~2nNX)1,0(~NnX)1(~nTnSXSnX(1)(2)5(II)两个正态总体设nXXX,,,21是来自正态总体的一个简单随机样本),(~211NXmYYY,,,21是来自正态总体),(~222NY的一个简单随机样本它们相互独立.niiniiXXnSXnX12211)(111令mjjmjjYYmSYmY12221)(1116则)1(~)1()1(~)1(2222222121mSmnSn)1,1(~22222121mnFSS若21则)1,1(~2221mnFSS(3)7设nXXX,,,21是来自正态总体的一个简单随机样本),(~21NXmYYY,,,21是来自正态总体),(~22NY的一个简单随机样本,它们相互独立.则),(~1),(~1221211mNYmYnNXnXmjjnii)1,0(~)()(2221NmnYX),(~2221mnNYX8)1(~)1()1(~)1(22222221mSmnSn222221)1()1(SmSn)2(~2mnYX与222221)1()1(SmSn相互独立92)1()1()()(2222212221mnSmSnmnYX2)1()1(11)()(222121mnSmSnmnYX)2(~mnt(4)10211()~(,)nXXXNnn设总体X~N(,2)，其中2已知，又X1,X2,,Xn为来自于总体的样本。一.均值EX的区间估计下面分两种情况进行讨论。1.方差DX已知，对EX进行区间估计由第七章第三节中的结论可知于是~(0,1)/XUNn111122{}()12PUzz12{||}1进而有PUz121/xPzn即11221Pxzxznn由标准正态分布可知，对于给定的，可以找到一个数z1-/2，使1220.97511.96zz当＝0.05时,查标准正态分布表得临界值此时的置信区间是2211[,]nnxzxz即为的置信区间。称z1-/2为在置信度1-下的临界值，或称为标准正态分布的双侧分位点。区间[1.96,1.96]xxnn0.995122.58zz2.58,2.58xxnn当＝0.01时,查标准正态分布表得临界值此时的置信区间是14例1.已知某种滚珠的直径服从正态分布，且方差为0.06，现从某日生产的一批滚珠中随机地抽取6只，测得直径的数据（单位mm）为14.615.114.914.815.215.1试求该批滚珠平均直径的95％置信区间。解当＝0.05时，1-=0.95,查表得0.975121.96zz114615114914815215114956(......).x于是1.9614.75xn1.9615.15xn故所求置信区间为14.75,15.1520.06,0.06,6n实际应用中往往是D(X)未知的情况。设x1,x2,,xn为正态总体N(,2)的一个样本，由于2未知，我们用样本方差S2来代替总体方差2，),(~)(1221nNxxxnxn~(0,1)/xUNn2.方差D(X)未知，对EX进行区间估计17212)(11xxnsnii)1(~)1(222nsnVU与V独立根据第七章定理四，统计量)1(~)1(/ntnVUnsxT~(0,1)/xUNn请比较U与T)1(21nt12(1)12PTtn对给定的，查t分布表可得临界值12(1)1PTtn12(1)1/xPtnsn使得19即1122(1)(1)1ssPxtnxtnnn故得均值的置信区间为1122(1),(1)ssxtnxtnnn当=0.05，n=9时，查t分布表得临界值0.97512(1)(8)2.306tnt因此，在方差2未知的情况下，的置信区间是2.306,2.30699ssxx20x例2:设有某种产品,其长度服从正态分布，现从该种产品中随机抽取9件,得样本均值＝9.28(cm),样本标准差s＝0.36(cm),试求该产品平均长度的90％置信区间.解：当=0.1,n=9时,查t分布表得0.9512(1)(8)1.86tnt于是12(1)sxtnn0.369.281.869.06312(1)9.50sxtnn故所求置信区间为〔9.06，9.50〕。21212~(,),,,,nXNxxx设总体是来自于总体的样本。现利用样本给出2的置信区间。考虑统计量二.方差DX的区间估计22221(1)1,()1niinsYsxxn其中由第七章定理三可知，统计量222(1)~(1)nsYn2222221(1)(1)nn及22221{(1)(1)}1PnYn于是，对给定的(01)，查2分布表，可得临界值使得2222221(1){(1)(1)}1nsPnn1)1()1()1()1(22222212nsnnsnP23因此，当总体N(,2)中的参数为未知的情况下，方差2的置信区间为2222122(1)(1),(1)(1)nsnsnn24注意这里选取的临界值22122(1),(1)nn不是唯一的。例如可以选取)1(),1(232123nn顺便指出，的置信区间是)1()1(,)1()1(2222212nsnnsn等等。25例3.某自动车床生产的零件,其长度X服从正态分布,现抽取16个零件，测得长度(单位：mm)如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06试求DX的置信度为95%的置信区间。解：经计算212075000244.,.xs查2分布表得22/20.025(1)(15)6.26n221/20.975(1)(15)27.45n260058.026.600244.015)1()1(222nsn0013.045.2700244.015)1()1(2212nsn故DX的置信区间为0.0013,0.005827第五节二正态总体均值和方差比的区间估计1,,mxx来自1,,nyy来自211(,)N222(,)N相应的样本均值和样本方差为一.二正态总体均值差的区间估计2,mxs21和任务:求按总体方差的不同情况分别进行讨论。2,nys的置信区间.281.方差和都已知2122由第七章第三节中的结论可知221212~,,~,xNyNmn221212~(,)xyNmn于是)1,0(~)()(222121Nnmyx2921如同上节一样讨论，可得的置信区间为222212121122,xyzxyzmnmn302.方差和都为未知212222,nmss2221,21这时，只要m,n足够大，就以分别代替并用22221122,mnmnssssxyzxyzmnmn作为的近似置信区间。难题313.方差且为未知2221221由第七章定理五知,统计量1222211()()()()()mnxymnmnmnmSnS服从t(m+n-2)分布。由此可得的置信区间为)2()1()1()2(2221nmmnnmsnsmnmtyxnm32设二正态总体和，其中参数均为未知。是分别来自于两总体且容量各为m和n的独立样本的方差考虑统计量22122212//SS),(211N),(222N2212,SS二.正态总体方差比的区间估计36由于2222122212(1)(1)~(1),~(1)msnsmn所以2122211222221222(1)/(1)/(1)//(1)msmssnsn~F(m-1,n-1)37对于给定的，查F分布表得临界值)1,1(2nmF)1,1(21nmF2212/21/22212/(1,1)(1,1)1/ssPFmnFmn于是，的1-置信区间为2221/22221122221,(1,1)(1,1)sssFmnsFmn和使38),(211N),(222N67.0,21.02221ss2221/例2设有二正态总体和，其中参数均为未知，随机地从两总体中分别抽取容量为10和15的独立样本，测得样本方差分别为，求二总体方差比的0.95置信区间。解这里=0.05，m=10，n=15，查F分布表得0.97512(1,1)(9,14)3.21FmnF390.0252(1,1)(9,14)FmnF31.067.021.02221ss故所求置信区间为0.096,1.180.97511(14,9)3.80F40作业•习题八11，12，13，1641