概率论 随机事件及其概率

通俗地讲随机事件是指随机试验中可能发生也可能不发生的事件．定义1.2随机试验的若干个基本结果组成的集合称为随机事件，简称事件，只含有一个基本结果的事件称为基本事件．常用大字母A,B,C,…表示．根据这两说法不难发现随机事件和样本空间的子集有一一对应关系！1.2.1随机事件1.2随机事件及其概率第1章概率论基础它们分别可以对应了样本空间S={1,2,3,4,5,6}的子集｛1,2,3,4｝和｛2,4,6｝．实例抛掷一枚骰子,观察出现的点数.“点数不大于4”,“点数为偶数”等都为随机事件.反过来，Ｓ的每个子集都对应了该试验的一个随机事件．1.2.1随机事件关于随机事件概念的几点说明：(1)任一事件A是相应样本空间的一个子集，基本事件就是只含有一个样本点的事件．(2)当子集A中某个样本点出现了，就说事件A发生了，或者说事件A发生当且仅当A中某个样本点出现了．(3)样本空间包含所有的样本点，作为自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件．空集不包含任何样本点，它作为样本空间的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件．1.2.1随机事件【例1-2】掷一颗骰子的样本空间为：={1,2,3,4,5,6}．事件A=“出现5点”，它是一个基本事件，可记为A={5}；事件B=“出现奇数点”，可记为B={1,3,5}；事件C=“出现的点数不大于6”，是必然事件,可记为C=．事件D=“出现的点数大于6”，是不可能事件,可记为D=．1.2.1随机事件1.2.2事件间的关系及运算1．事件间的关系(1)子事件如果属于事件A的样本点也属于事件B，则称A为B的子事件，记为AB．其概率含义是：A发生B必发生．(2)事件相等如果事件A与事件B满足：AB且BA，则称A与B相等，记为A=B．其概率含义是：A，B中有一个发生另一个也必发生．1.2随机事件及其概率(3)互不相容如果事件A和B没有相同的样本点，则称A与B互不相容（或互斥）．其概率含义是：A，B不同时发生．实例抛掷一枚硬币,“出现正面”与“出现反面”是互不相容的两个事件.1.2.2事件间的关系及运算2．事件运算1)事件A与B的和事件A与B的和事件定义为：由至少属于A，B之一的样本点全体组成的集合，记为A∪B，其概率含义是：A，B至少有一个发生．实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,若C=“产品不合格”,B=“长度不合格”与A=“直径不合格”,则C=A∪B.图示事件A与B的和BABA1.2.2事件间的关系及运算;,,,211的和事件个事件为称推广nknkAAAnA.,,211的和事件为可列个事件称AAAkk1.2.2事件间的关系及运算2)事件A与B的积事件A与B的积事件定义为：由既属于A又属于B的样本点组成的集合，记为A∩B或AB．其概率含义是：事件A与B同时发生．事件A与B互不相容当且仅当其积事件为不可能事件，即AB=．;,,,211的积事件个事件为称推广nnkkAAAnA.,,211的积事件为可列个事件称AAAkk1.2.2事件间的关系及运算图示事件A与B的积事件.ABAB实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格”，Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”．ABBAC则1.2.2事件间的关系及运算3)事件A与B的差由事件A出现而事件B不出现所组成的事件称为事件A与B的差.记作A-B.图示A与B的差.ABABABABBABA实例设Ｃ＝“长度合格但直径不合格”，Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”..BAC则1.2.2事件间的关系及运算4)对立事件由在中而不在A中的样本点组成的集合称为A的对立事件（逆事件）记为其概率含义是：A不发生．显然，．,AΩAAA实例“骰子出现1点”“骰子不出现1点”图示A与B的对立.BA若A与B对立,则有.ABBA且A对立1.2.2事件间的关系及运算A对立事件与互斥事件的区别ABABAA、B对立（互逆）A、B互斥(互不相容)ABBA且AB互斥对立1.2.2事件间的关系及运算3．事件运算满足的定律事件的运算性质和集合的运算性质相同，设A,B,C为事件，则有交换律：A∪B=B∪A,AB=BA．结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(AB)C=A(BC)．分配律：对偶律：)()()(BCACCBA))(()(CBCACAB,BABABAAB1.2.2事件间的关系及运算【补充例】设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.A()(1)A发生，且B与C至少有一个发生；(2)A与B发生，而C不发生；(3)A,B,C中恰有一个发生；(4)A,B,C中至少有两个发生；(5)A,B,C中至多有两个发生；(6)A,B,C中不多于一个发生.B∪CABABC不发生；CCBACBACBAACBCABABCACBCABCBACBACBACBA或1.2.2事件间的关系及运算☺课堂练习填空以Ａ表示事件“甲产品畅销，乙产品滞销”其对立事件为＿＿＿＿＿．Ａ）“甲滞销，乙畅销”Ｂ）“甲乙均畅销”Ｃ）“甲滞销”Ｄ）“甲滞销或乙畅销”1.2随机事件及其概率A解设Ｂ＝“甲畅销”，Ｃ＝“乙畅销”则故Ａ的对立事件为Ｄ），即“甲滞销或乙畅销”．,CBACBACBCB1.2随机事件及其概率1.2.3事件的概率及性质所谓随机事件的概率，概括地说就是用来描述随机事件发生的可能性大小的数量指标，它是概率论中最基本的概念之一．1.2随机事件及其概率1．频率与概率的统计定义首先看频率的概念:定义1.3设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条件下，把E独立的重复做n次，nA表示事件A在这n次试验中发生的次数（称为频数）．比值fn(A)=nA/n称为事件A在这n次试验中发生的频率．频率有如下性质：(1)对于任一事件A，有0fn(A)1；(2)对于必然事件，有fn()=1；(3)对于互不相容的事件A，B，有fn(A∪B)=fn(A)+fn(B)．1.2.3事件的概率及性质试验序号5nHn)(Hfn12345672315124Hn50n22252125241827Hn500n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7遍,观察正面出现的次数及频率.处波动较大在21波动最小随n的增大,频率f呈现出稳定性处波动较小在21)(Hfn)(Hfn1.2.3事件的概率及性质试验者德摩根蒲丰nHn皮尔逊K皮尔逊K204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(HRn.21的增大n)(Hfn历史上一些概率统计学家的试验：1.2.3事件的概率及性质从上述数据可得(2)抛硬币次数n较小时,频率f的随机波动幅度较大,但随n的增大,频率f呈现出稳定性.即当n逐渐增大时频率R总是在0.5附近摆动,且逐渐稳定于０.5.(1)频率有随机波动性,即对于同样的n,所得的f不一定相同;1.2.3事件的概率及性质概率的统计定义定义1.4设有随机试验E，若当试验的次数n充分大时，事件A发生的频率fn(A)稳定在某数p附近波动，则称数p为事件A的概率，记为：P(A)=p．概率的统计定义只是描述性的，一般不能用来计算事件的概率．1.2.3事件的概率及性质根据频率和概率的关系以及理论研究的需要，受频率性质的启发,1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构,给出了概率的严格定义,使概率论有了迅速的发展.Born:25Apr.1903inTambov,Tambovprovince,RussiaDied:20Oct.1987inMoscow,RussiaAndreyNikolaevichKolmogorov1.2.3事件的概率及性质2.概率的公理化定义与性质定义1.5设是一随机试验的样本空间，对于该随机试验的每一个事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列公理：(1)非负性：对于每一个事件A，有P(A)0；(2)规范性：对于必然事件，有P()=1；(3)可列可加性：设A1,A2,…是两两互不相容的事件，即对于ij，AiAj=，i，j=1，2，…，则有(1.1))()()(2121APAPAAP1.2.3事件的概率及性质概率的公理化定义使概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学学科同等的地位．在公理化的基础上，现代概率论不仅在理论上取得了一系列的突破，也在应用上取得了巨大的成就．利用概率的公理化定义，可以导出概率的一些性质．1.2.3事件的概率及性质.0)(1P性质证明),,2,1(nAn.,,1jiAAAjinn且则由概率的可列可加性得nnAPP1)(1)(nnAP1)(nP0)(P.0)(P概率的性质1.2.3事件的概率及性质概率的有限可加性证明,21nnAA令.,2,1,,,jijiAAji由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP1)(kkAP0)(1nkkAP).()()(21nAPAPAP则有是两两互不相容的事件,,,,221nAAA若性质).()()()(2121nnAPAPAPAAAP1.2.3事件的概率及性质).(1)(,3APAPAA则的对立事件是设性质,1)(,,PAAAA因为).(1)(APAP证明)()(1AAPP所以.)()(APAP1.2.3事件的概率及性质).()(),()()(,,,4BPAPBPAPBAPBABA则且为两个事件设性质证明AB,BA因为).(BABA所以,)(BBA又.)()()(BAPBPAP得,0)(BAP又因).()(BPAP故).()()(BPAPBAP于是1.2.3事件的概率及性质性质５对任意两个事件A，B，有P(A–B)=P(A)–P(AB)．证：因为A–B=A–AB，且ABA，所以由性质4得)()()()(ABPAPABAPBAP1.2.3事件的概率及性质性质6（加法公式）对于任意两事件A，B有P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)．证：因A∪B=A∪(B–AB)，且A(B–AB)=，故由性质2及性质5得)()()(ABBPAPBAP)()()(ABPBPAP1.2.3事件的概率及性质推广三个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAPn个事件和的情况)(21nAAAPnjijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP1.2.3事件的概率及性质【例1.4】设事件A，B的概率分别为1/3，1/2．在下列二种情况下分别求的值：(1)A与B互不相容；(2)AB；解：(1)由性质5，=P(B–A)=P(B)–P(AB)，因为AB=，所以=P(B)–P(AB)=P(B)=1/2．(2)因为AB，由性质4，有=P(B–A)=P(B)–P(A)=1/2–1/3=1/6．)(ABP)(ABP)(ABP)(ABP1.2.3事件的概率及性质解)A(P).BA(P),BA(P),BA(P),A(P,5.0)B(P,4.0)A(P,B,A求已知是互不相容的事件设,,互不相容因BA,)(,OABPAB即有)(1AP