正弦定理(二)

正弦定理(二)[学习目标]1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.知识点一正弦定理及其变形1.定理内容：asinA＝bsinB＝csinC＝2R.2.正弦定理的常见变形：(1)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；(2)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R；(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(4)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.知识点二对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a、b和A解三角形为例，从两个角度予以说明：(1)代数角度由正弦定理得sinB＝bsinAa，①若bsinAa1，则满足条件的三角形个数为0，即无解.②若bsinAa＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解.③若bsinAa1，则满足条件的三角形个数为1或2.(2)几何角度图形关系式解的个数A为锐角①a＝bsinA；②a≥b一解bsinAab两解absinA无解A为钝角或直角ab一解a≤b无解知识点三三角形面积公式任意三角形的面积公式为：(1)S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.(2)S△ABC＝12ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长.(3)S△ABC＝12r(a＋b＋c)＝12rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.(4)S△ABC＝pp－ap－bp－c(其中p＝a＋b＋c2).题型一三角形解的个数的判断例1已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝23，b＝6，A＝30°.解(1)a＝10，b＝20，ab，A＝80°90°，讨论如下：∵bsinA＝20sin80°20sin60°＝103，∴absinA，∴本题无解.(2)a＝23，b＝6，ab，A＝30°90°，∵bsinA＝6sin30°＝3，absinA，∴bsinAab，∴本题有两解.由正弦定理得sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，又∵B∈(0，π)，∴B1＝60°，B2＝120°.当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝asinC1sinA＝23sin90°sin30°＝43；当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝asinC2sinA＝23sin30°sin30°＝23.∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝43；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝23.跟踪训练1(1)满足a＝4，b＝3，A＝45°的三角形ABC的个数为________.(2)△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则x的取值范围是________.答案(1)1(2)2x22解析(1)因为A＝45°90°，a＝43＝b，所以△ABC的个数为一个.(2)由asinBba，得22x2x，∴2x22.题型二三角形的面积例2在△ABC中，若a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.解∵cosB2＝255，∴cosB＝2cos2B2－1＝35.∴B∈(0，π2)，∴sinB＝45.∵C＝π4，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝7210.∵asinA＝csinC，∴c＝asinCsinA＝27210×22＝107.∴S＝12acsinB＝12×2×107×45＝87.跟踪训练2(1)在△ABC中，若a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝________.(2)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于________.答案(1)23(2)32或34解析(1)∵cosC＝13，∴C∈(0，π2)，∴sinC＝1－132＝223，又S△ABC＝12absinC＝12·32·b·223＝43，∴b＝23.(2)由正弦定理得sinC＝AB·sinBAC＝3×121＝32，又∵C∈(0，π)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，∴S△ABC＝12AB·AC·sinA＝32或34.题型三正弦定理与三角变换的综合应用例3在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，若c＝2＋6，C＝30°，求a＋b的取值范围.解由正弦定理得csinC＝asinA＝bsinB＝a＋bsinA＋sinB，∵c＝2＋6，C＝30°，∴a＋bsinA＋sinB＝2＋6sin30°，A＋B＝180°－30°＝150°.sin(150°－A)＝sin150°2cos150°－2A2＋cos150°2sin150°－2A2，①sinA＝sin150°2cos150°－2A2－cos150°2sin150°－2A2，②由①②得sinA＋sin(150°－A)＝2sin75°cos(75°－A)，∴a＋b＝2(2＋6)[sinA＋sin(150°－A)]＝2(2＋6)×2sin75°cos(75°－A)＝2(2＋6)×2×6＋24cos(75°－A)＝(2＋6)2cos(75°－A).当A＝75°时，(a＋b)max＝8＋43.∵A＋B＝150°，∴0°A150°，－150°－A0°.∴－75°75°－A75°，∴cos(75°－A)∈(6－24，1]，∴a＋b(2＋6)2×6－24＝2＋6，∴2＋6a＋b≤8＋43.综上所述，a＋b∈(2＋6，8＋43].跟踪训练3在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＋ba＝sinBsinB－sinA，且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.试确定△ABC的形状.解由正弦定理a＋ba＝sinBsinB－sinA＝bb－a，∴b2－a2＝ab，①∵cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C，∴cos(A－B)－cos(A＋B)＝1－(1－2sin2C)，∴(cosAcosB＋sinAsinB)－(cosAcosB－sinAsinB)＝1－1＋2sin2C，∴2sinAsinB＝2sin2C，∴c2＝ab.②①②结合得b2－a2＝c2，∴△ABC是以B为直角的直角三角形.三角形解的个数的判断中考虑不全面致误例4在△ABC中，已知c＝6，A＝π4，a＝2，则b＝__________.错解由正弦定理asinA＝csinC，得sinC＝csinAa＝32，∴C＝π3，∴B＝5π12，∴b＝asinBsinA＝3＋1.答案3＋1错因分析求得sinC＝32之后，去求角C的值时，认为C为锐角，而忽略了C＝23π的情况，导致漏解.正解因为6sinπ426，所以本题有两解.因为asinA＝csinC，所以sinC＝csinAa＝32.所以C＝π3或2π3.当C＝π3时，B＝5π12，b＝asinBsinA＝3＋1.当C＝2π3时，B＝π12，b＝asinBsinA＝3－1.答案3＋1或3－1误区警示已知两边和其中一边的对角解三角形时可先由正弦定理求出另一边的对角，该角可能有两解、一解、无解三种情况，故解题时应注意讨论，防止漏解.1.在△ABC中，A＝π3，BC＝3，AB＝6，则角C等于()A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π62.已知△ABC中，b＝43，c＝2，C＝30°，那么此三角形()A.有一解B.有两解C.无解D.解的个数不确定3.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是()A.a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B.a＝18，b＝20，A＝60°，有一解C.a＝5，b＝2，A＝90°，无解D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解4.在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝________.5.在△ABC中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)，则此三角形的形状是________.6.在△ABC中，AB＝3，D为BC的中点，AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积S△ABC＝________.一、选择题1.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝3b，则角A等于()A.π12B.π6C.π4D.π32.在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，由此得三角形最短边的长度为()A.63B.62C.12D.323.在△ABC中，A＝π3，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是()A.[33，6]B.(2,43)C.(33，43]D.(3,6]4.在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝4，则满足条件的△ABC()A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(3，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为()A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π36.已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且A，B为△ABC的两内角，a，b为角A，B的对边，则此三角形为()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形7.在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为角A的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD等于()A.2B.2或4C.1或2D.5二、填空题8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝________.9.在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________.10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则ab＝________.三、解答题11.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若tanA＝3，cosC＝55，(1)求角B的大小；(2)若c＝4，求△ABC的面积.12.在△ABC中，求证：a2－b2c2＝sinA－BsinC.13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，p＝(2a,1)，q＝(2b－c，cosC)，且p∥q.(1)求sinA的值；(2)求三角函数式－2cos2C1＋tanC＋1的取值范围.当堂检测答案1.答案C解析由正弦定理BCsinA＝ABsinC得sinC＝AB·sinABC＝6×323＝22，∴C＝π4或3π4.又∵ABBC，∴CA，∴C＝π4.2.答案C解析由正弦定理和已知条件得43sinB＝2sin30°，∴sinB＝31，∴此三角形无解.3.答案D解析对A.a＝bsinA，故有一解；对B.bsinAab，故有两解；对C.absinA，故有一解；对D.A为钝角，且ab，故有一解.4.答案1解析由正弦定理bsinB＝csinC得1sinB＝3sinC.∵sinC＝sin2π3＝32，∴sinB＝12.∵C＝2π3，∴B为锐角，∴B＝π6，A＝π6，故a＝b＝1.故填1.5.答案直角三角形解析∵lg(sinA＋sinC)＝lgsin2BsinC－sinA，∴sin2C－sin2A＝sin2B，结合正弦定理得c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形.6.答案32解析∵AB＝3，AD＝1，∠BAD＝30°，∴S△ABD＝12·3·1·sin30°＝34，又D是BC边中点，∴S△ABC＝2S△ABD＝32.错误!课时精练答案一、选择题1.答案D解析由正弦定理可得2sinAsinB＝3sinB，又∵B∈(0，π2)，sinB≠0，∴sinA＝32，又A为锐角，∴A＝π3.2.答案A解