山东建筑大学概率论第六章作业及答案

1概率论与数理统计作业15（§6.1）概率论与数理统计作业16（§6.2～§6.5）第六章参数估计2概率论与数理统计作业15（§6.1）一、填空题1.若X是离散型随机变量，分布律是{}(;)PXxPx，（是待估计参数），则似然函数，X是连续型随机变量，概率密度是(;)fx，则似然函数是。2.若未知参数的估计量是，若称是的无偏估计量。设12,是未知参数的两个无偏估计量，若则称1较2有效。3.对任意分布的总体，样本均值X是的无偏估计量。样本方差2S是的无偏估计量。4.设总体~()XP，其中0是未知参数，1,,nXX是X的一个样本，则的矩估计量为，极大似然估计为。niixp1),(niixf1),()ˆ(E)ˆ()ˆ(21DD)(XE总体均值)(XD总体方差ˆXˆX3二、计算题1.设总体服从几何分布:.3,2,1,11xppxXPx如果取得样本观测值为,,,,21nxxx求参数p的矩法估计量和极大似然估计。11)1(mmpmpEXqqqmm1122111)1(1pqqmmm11)1(mmpmp∴pEX1而∴得p的矩估计值为：XniiXn11令p1xp1ˆ(1)401)(ln1pnxpndppLdnii令(2)似然函数为：nixipp11)1()(pLnxnniipp1)1(nxppnpLnii1)1ln(ln)(ln得p的极大似然估计值为：xp1ˆ52.设总体服从指数分布~X()e，取一个样本为12,,,nXXXL，求矩估计量和最大似然估计量.解：01()xExxedx解得矩估计量为1ˆX（1）矩估计62.设总体服从指数分布~X()e，取一个样本为12,,,nXXXL，求矩估计量和最大似然估计量.解：1ln()0niidLnxd令（2）似然函数为：11()iinnxxniiLee1ln()lnniiLnx极大似然估计值为：1ˆX73.设总体X服从0-1分布),1(pB，这里10p.现从总体中抽取了一个样本nXX,,1，试求p的极大似然估计量.解：11ln()01niniiinxdLpxdpp令似然函数为：1111()(1)(1)nniiiiiinxnxxxiLppppp11ln()()ln(1)nniiiiLpxpnxp得p的极大似然估计值为：ˆpX84.设~X(,)Uab，一个样本为12,,,nXXXL，求参数,ab的矩估计量.解：2211()22babaabExxdxbaba33222211()33babaaabbExxdxbaba按矩法得方程组122211213niiniiabxnaabbxn解得矩估计量为2212213ˆ243ˆ4niiniiaXxXnbxXn95.设总体X的概率密度为1,01,(,)0,.xxfx其它其中0，如果取得样本观测值为12,,,nxxxL，求参数的矩估计值和最大似然估计值.解(1)矩估计法110()1ExxxdxQˆ1XX参数θ的矩估计值为105.设总体X的概率密度为1,01,(,)0,.xxfx其它其中0，如果取得样本观测值为12,,,nxxxL，求参数的矩估计值和最大似然估计值.解(2)最大似然估计,似然函数为1ln()1(1)ln0niidLxd令1111()()nnniiiiLxx1ln()ln(1)lnniiLnx最大似然估计为：1ˆlnniinx116.设总体X服从拉普拉斯分布：,,21);(xexfx.0其中如果取得样本观测值为,,,,21nxxx求参数θ的矩估计值与最大似然估计值.解(1)矩估计法dxexXEx2221)(021dxexx022xdexx)3(222令212221)(niiXnXEniixn121ˆ参数θ的矩估计值为12(2)最大似然估计法似然函数nixieL121)(niixnL11ln2ln)(lnniixne112101)(ln12niixndLdniixn11ˆ参数θ的最大似然估计值为137、设总体X的概率函数为000);(1xxeaxxpaxa，其中0是未知参数，0a是已知常数，试根据来自总体X的简单随机样本nXXX,,21，求的最大似然估计量^解：最大似然估计法似然函数1111()()aaiinnxxanaiiiiLaxeaxe11ln()ln()(1)lnnnaiiiiLnaaxx1ln()0naiidLnxd1ˆnaiinx最大似然估计值为148.设1ˆ和2ˆ为参数的两个独立的无偏估计量，且假定21ˆ2ˆDD，求常数c和d，使21ˆˆˆdc为的无偏估计，并使方差ˆD最小.由题意得1cd222ˆˆ()(2)()DcdD解即要求达到最小值222cd从而解得12,.33cd159、设n个随机变量1X，2X，…，nX独立同分布，21)(XD，niiXnX11，niiXXnS122)(11，则A）S是的无偏估计量；B）S是的最大似然估计量；C）S是的相合估计量（即一致估计量）；D）S与X相互独立.169、设n个随机变量1X，2X，…，nX独立同分布，21)(XD，niiXnX11，niiXXnS122)(11，则A）S是的无偏估计量；B）S是的最大似然估计量；C）S是的相合估计量（即一致估计量）；D）S与X相互独立.17概率论与数理统计作业16（§6.2～§6.5）一、填空题1、设总体2~(,),1,…，n是的样本，则当2已知时，求的置信区间所使用的统计量为=；服从分布；当2未知时，求的置信区间所使用的统计量=，服从分布．2、设总体2~(,),1,…，n是来自的一个样本，则当已知时，求2的置信区间所使用的统计量为=；服从分布．则当未知时，求2的置信区间所使用的统计量为=；服从分布．3、设由来自总体2~(,0.9)容量为9的简单随机样本，得样本均值=5，则未知参数的置信度为0.95的置信区间是．nX1,0Nnsx.1ntniix1221n222)1(sn12n588.5,412.418二、计算题1、某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径（毫米）如下：14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8.设滚珠直径服从正态分布，求直径的均值对应于置信概率0.95的置信区间.如果：(1)已知标准差为0.15毫米；（2）未知标准差.14.91x对于置信概率1-α=0.95，025.02uu由此得098.096.1915.020un得置信区间为解(1)则α=0.05，.96.114.91-0.098μ14.91+0.09814.81μ15.01即.1,0~NnXu0.12020unxunxP19二、计算题1、某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径（毫米）如下：14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8.设滚珠直径服从正态分布，求直径的均值对应于置信概率0.95的置信区间.如果：(1)已知标准差为0.15毫米；（2）未知标准差.14.91x解(2)1~ntnsXt.1)1()1(22ntnsxntnsxP203.0s.31.2)8()1(025.02tnt求得:.16.031.29203.02tns得置信区间为14.75μ15.07202.进行30次独立测试，测得零件加工时间的样本均值5.5x秒，样本标准差s=1.7秒.设零件加工时间是服从正态分布的，求零件加工时间的均值及标准差对应于置信概率0.95的置信区间.解(1)1~ntnsXt.1)1()1(22ntnsxntnsxP04.2)29()1(025.02tnt求得:63.004.2307.12tns得置信区间为4.87μ6.13212.进行30次独立测试，测得零件加工时间的样本均值5.5x秒，样本标准差s=1.7秒.设零件加工时间是服从正态分布的，求零件加工时间的均值及标准差对应于置信概率0.95的置信区间.解(2)7.45)29(16)29(2025.02975.0，则方差的置信区间为2167.1297.457.129222即29.235.1查表得223.从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命（以小时计）为10501100112012501280，设灯泡寿命服从正态分布，求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95的单侧置信下限.解)1(~/ntnSXt于是有))1((nttP1即1)1(ntnSXP75.99s,1160x又查表得13.2)4()1(05.0tnt106513.2575.991160ˆl106595.0的单侧置信下限是的置信水平为使用寿命均值所以，234、设总体2~(,)，已知0，要使总体均值对应于置信度为1的置信区间长度不大于L，问应抽取多大容量的样本？解.1,0~NnXu0.12020unxunxPLun20222024uLn