《材料力学》05几何性质

2020/2/151郑州大学工程力学系编制GeometricPropertiesofanArea2020/2/152§1静矩与形心§2惯性矩、惯性积、极惯性矩§3平行移轴和转轴定理截面图形几何性质§4主惯性轴和主惯性矩2020/2/153§1静矩与形心一.静矩：ydAzSzyz图形对z轴的静矩：对y轴：二.形心：形心——图形几何中心.只取决于图形的几何形状、尺寸.y对z轴的静矩：dA重心——物体重力合力作用点.AyAzSddA与质量有关（物理概念）与质量无关（几何概念）面积与其到轴“距离”之积AAdy（StaticMomentandCentroidofanArea）2020/2/154yz若物体均质，则二者重合为一。考虑均质等厚薄板，其形心即为重心坐标，AzdAzAydAy:ACACyzdACyCzzASyAS：或形心坐标（形心）CCyCz用静矩表示：（重心）平面重心坐标可由合力矩定理给出：ASyzCASzyC2020/2/155yzCyAzS三.性质：1.若物体有对称点、线、面，（合之静矩＝静矩之和）形心坐标图形对z轴的静矩为零2.z轴过形心3.静矩可分割组合iCizAiCiyACzAySA1A21Cy2Cy则其形心即在该点、线、面上)(代数式AyAyiCiCAzAziCiC2020/2/156zy4040试确定下图形心解：按组合图形解1.正面积法，图形分割为三图(a)0CzCyAyAyiC例①C1（y为对称轴）746.402020)(60320028003200220800)(③C3②C2332211yAyAyAmm321AAA2020/2/1578080图(b)2.负面积法，图形分割如图(b)AyAyiiC4040负面积②C2zy746.①C1)(406400)(20160016006400mm2211yAyA21AA2020/2/158y例h0zASSSyzzzC321z①②③三根10号槽钢焊成一体，求整个截面的形心,cm.z5210∵y为对称轴，∴形心在y轴上各种规格品种的型钢，几何尺寸、参数可查型钢表——P370).(.1052174812cy1221132AyAyACCcm.177,cm.A2174812cmh10zcxxyy(形心)0z374812.解：2548.712)(2020/2/159一.定义zIzydAyzr极惯性矩：A2AdIrr惯性积AyzAyzId§2惯性矩惯性积极惯性矩(面积与到两轴“距离”之积)惯性矩：A2yAdzI(面积与其到轴“距离”平方之积)(面积对极点的二次矩)A2AdyMomentofInertia·ProductofInertia·PolarInertiaMoment2020/2/1510zy（对称轴）二.性质：1.PzyIIIzz说明：两侧对称的面积微分——1A1yzyzdAI显然该情况对全部图形都如此2.I可分割组合3.若y、z之一是对称轴2dA1dAyy0A2dArrIA2dA)z(则Iyz=02A2yzdA2yy坐标同值同号，z坐标同值反号，积分中相互抵消：2020/2/1511例求惯性矩（对称轴）yzh/2h/2b/2b/2A2zAdyIyIzIzypIII解：pIAydAzI2)bdydA(dyydA（注意：若不在以上位置，）z＝？zI2h2h)bh(bh2212123bh2y)dyb(123hb2020/2/1512例求惯性矩（对称轴）yzh/2h/2H/2H/2B/2B/2b/2b/2A2zAdyIyzIzI0yzI惯性积解：因二轴为对称轴123BH21A22A12AdyAdy123bh2020/2/1513例求图形惯性矩，zIyIzzII1求,②zIyyyIII21②②解：求①yI10107070606020②zy①12201403)(212120103)(4610972mm.121601203)(461018mmz212140503)(两腰负面积图形分割为三：图形仍分割为三：②2①22zI2020/2/1514一.平行移轴公式：A2zAdyIzyaydA§3平行移轴·转轴公式移轴公式czIbcyzcyc（形心）C二坐标轴，相互平行，CzzAd)ay(2ACA2CdAyA2dAadAyaAC2bzzCayyC0czS()∴Cz其一（）原点在形心ParallelAxis·RotationofAxisczaS2Aa22020/2/1515Note:,必须过形心cyczzIczI思考：公式中，与是否可调换位置？移轴公式2020/2/15162010020解：①求形心位置212211AAyAyAAyAyiiCzCy100y12201003)(例求图形对其形心轴的惯性矩CyI46107331mm.分割为二,②求CyICzc(yc)mm8012100203)(直接套用矩形公式)(1102000)(502000220002020/2/151720100z80CczCy1zCI)(2zCI)(21)()(CCCzzzIIIC2求CzI③C14610871mm.)()(20003024610473mm.)()(2000302但zc不过二者形心——平行移轴20——图形分割为二：4610345mm.12201003)(12100203)(1002020/2/1518z解：44373866cm.IcmIyx，zyII例两16a型槽钢组合截面，欲使zyII（加缀条,螺钉或焊、铆接，成一整体承载）xzI2IyyII23732.cm.z810?dA2281369621)d..)(.(48662cmcmd3yxdxyybz029621cm.Acm.b36查P370:令202)dzb(2020/2/1519例2求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：此题求解——两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理B建立形心坐标,求图形对形心轴的惯性矩。6424dIIIPyx6454644442dddAdIIxABAdxyOxyx4I2II32dIr2020/2/1520sinzcosyy1dAy1z1绕原点逆时针旋转角yzoyzz1y1AzAdyI211Ad)sinzcosy(A2A22dAycoszIcos2转轴公式sinycoszz1两坐标系原点在同一点，二.转轴公式dAyzcossinA2yzIcossin2yIsin2A22dAzsinz1y1z1y12020/2/1521转轴公式2020/2/1522§4主轴形心主轴主轴过形心，则称为形心主轴定存在特殊角度的一对轴：图形对该对轴的惯性积等于零·.——主惯性轴（简称主轴）图形对对主轴的惯性矩——主惯性矩（简称主矩）以任一点为原点，都有一对主轴11zyI随角变化，是的连续函数，11zyI据定义可知可正可负亦可为零∴yzoz1y1z1y1PrincipalAxisofInertia·CentroidPrincipleAxisofInertia2020/2/1523图形另一形心主轴与其垂直且过形心.图形的对称轴必是形心主轴.（1.对称轴必过形心;Cz(一对称轴)zz(二对称轴)CCzz2.图形关于对称轴的惯性积=0）∴2020/2/1524Thanks!2020/2/1525以任一点为原点，都有一对主轴。图形对对主轴的惯性矩——主惯性矩（简称主矩）0ddI1y令一.主轴和主矩※§5主惯性轴和主惯性矩证明：11zyI11zyI由上式可知：随角变化，是的连续函数，又据惯性积定义可知可正可负亦可为零，定存在特殊角度的一对轴：图形对该对轴的惯性积等于零。这对轴——主惯性轴（简称主轴）可证明：在图形对同一原点（不同角度）所有轴的惯性矩中，主矩定为极大（极小）02cosI2sin2II2yzzy－0I11zy即2020/2/1526二.主轴和主矩的确定：011zyI令主惯性矩：图形对该对轴的惯性积等于零,02cosI2sin2IIyzzyzyyzIII22tg02(由于以为周期,公式可得二,相差,说明二主轴成对出现,互相垂直)02tg02000sin,cos2可得由tg再代入转轴公式:224)(21200yzzyzyzyIIIIIII主轴位置：2020/2/1527求形心主惯性矩方法①求形心位置，过形心任选坐标系求出，②求形心主轴方向0③求形心主惯性矩224)(21200CCCCCCzyzyzyzyIIIIIIIcccczyzyIII22tg0cyIczI平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩三.形心主轴和形心主惯性矩：C0cycz0y0z形心cycz主轴过形心时，称为形心主轴。2020/2/1528一些特殊情况，图形的主轴和形心主轴，可不计算而直接判断出：zzzzz(一对称轴)(二对称轴)CCC图形有一对称轴，该轴必是形心主轴.另一与其垂直且过形心.图形的对称轴必是形心主轴.（因：1.对称轴必过形心;2.图形关于对称轴的惯性积=0）2020/2/1529例3矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴(b=1.5d)解：①建立坐标系如图。②求形心位置。③建立形心坐标系；求：IyC，IxC，IxCyd177.04dd34d2dAAyy0A0AAxx222iiiidb2dxyOxCyCx12020/2/1530db2dxCyCx1])5.0([212ydAIyAIIIIxxxCxCxC圆圆矩矩圆矩4224223685.0])177.05.0(464[)177.0(312)2(5.1ddddddddd443513.064122)5.1(ddddIIIxCxCyC圆矩便是形心主惯性矩轴便是形心主轴yCxCCCxCyCIIyxI、0xyO2020/2/1531yzzyyz1012080104010202040402020/2/1532212211AAyAyAAyAyii3.20108011010)35(11007.34108011010)60(1100z1试确定下图的形心解：组合图形，用正负面积法解1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图(a)801010120图(a)yzC1(0,0)C2(-35,60)C2C1例2020/2/15332.用负面积法求解，图形分割及坐标如图3.201107080120)5)(11070(0图(b)212211AAyAyAAyAyii801010C1（0,0）C2（5,5）C1负面积yz2C120