2011-2017年全国卷2理科数学试题及答案

2017年全国卷2理科数学试题及答案解析1绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2理科数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.31ii（）A．12iB．12iC．2iD．2i2.设集合1,2,4A，240Bxxxm．若{1}AB，则B（）A．1,3B．1,0C．1,3D．1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90B．63C．42D．362017年全国卷2理科数学试题及答案解析25.设x，y满足约束条件2330233030xyxyy，则2zxy的最小值是（）A．15B．9C．1D．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的1a，则输出的S（）A．2B．3C．4D．59.若双曲线C:22221xyab（0a，0b）的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．2332017年全国卷2理科数学试题及答案解析310.已知直三棱柱111ABCABC中，C120，2，1CCC1，则异面直线1与1C所成角的余弦值为（）A．32B．155C．105D．3311.若2x是函数21`()(1)xfxxaxe的极值点，则()fx的极小值为（）A.1B.32eC.35eD.112.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC的最小值是（）A.2B.32C.43D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D．14.函数23sin3cos4fxxx（0,2x）的最大值是．15.等差数列na的前项和为nS，33a，410S，则11nkkS．16.已知F是抛物线C：28yx的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点．若为F的中点，则FN．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）ABC的内角ABC、、所对的边分别为,,abc，已知2sin()8sin2BAC，（1）求cosB；（2）若6ac，ABC的面积为2，求b．18.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了1002017年全国卷2理科数学试题及答案解析4个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）22()()()()()nadbcKabcdacbd19.（12分）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，o1,90,2ABBCADBADABCE是PD的中点.（1）证明：直线//CE平面PAB（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为o45，求二面角MABD的余弦值P（𝐾2≥𝑘）0.0500.0100.001k3.8416.63510.8282017年全国卷2理科数学试题及答案解析520.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2212xy上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线3x上，且1OPPQ.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.（12分）已知函数2lnfxaxaxxx，且0fx。（1）求a；（2）证明：fx存在唯一的极大值点0x，且2202efx.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos4．（1）M为曲线1C上的动点，点P在线段OM上，且满足||||16OMOP,求点P的轨迹2C的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为(2,)3，点B在曲线2C上，求OAB面积的最大值．23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知330,0,2abab，证明：2017年全国卷2理科数学试题及答案解析6（1）55()()4abab；（2）2ab．2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2理科数学参考答案一、选择题：1.D2.C3.B4.B5.A6.D7.D8.B9.A10.C11.A12.B二、填空题：13.1.9614.115.21nn16.6三、解答题：17.（12分）解：（1）由题设及ABC得2sin8sin2BB，故sin41cosBB（）上式两边平方，整理得217cos32cos150BB解得15cosB=cosB171（舍去），=（2）由158cosBsinB1717=得，故14sin217ABCSacBac又17=22ABCSac，则由余弦定理及a6c得2222b2cos()2(1cos)acacBacacB1715362(1)4217所以2b18.（12分）解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”.由题意知()()()()PAPBCPBPC2017年全国卷2理科数学试题及答案解析7旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62，故()PB的估计值为0.62新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.0680.0460.0100.008)50.66，故()PC的估计值为0.66因此，事件A的概率估计值为0.620.660.4092（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法6238新养殖法346622200(62663438)15.70510010096104K由于15.7056.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为(0.0040.0200.044)50.340.5，箱产量低于55kg的直方图面积为(0.0040.0200.0440.068)50.680.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为0.50.345052.35()0.068kg19.（12分）解：（1）取PA的中点F，连接,EFBF，因为E是PD的中点，所以//EFAD，12EFAD由90BADABC得//BCAD，2017年全国卷2理科数学试题及答案解析8又12BCAD，所以//EFBC，四边形BCEF是平行四边形，//CEBF，又BF平面PAB，CE平面PAB，故//CE平面PAB（2）由已知得BAAD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，||AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,3)ABCP，(1,0,3),(1,0,0)PCAB设(,,)(01)Mxyzx，则(1,,),(,1,3)BMxyzPMxyz因为BM与底面ABCD所成的角为45，而(0,0,1)n是底面ABCD的法向量，所以222||2|cos,|sin45,2(1)zBMnxyz，即222(1)0xyz①又M在棱PC上，设PMPC，则,1,33xyz②由①，②解得21,21,62xyz（舍去），21,21,62xyz所以26(1,1,)22M，从而26(1,1,)22AM设000(,,)mxyz是平面ABM的法向量，则2017年全国卷2理科数学试题及答案解析90,0,mAMmAB即0000(22)26)0,0,xyzx所以可取(0,6,2)m，于是10cos,||||5mnmnmn因此二面角MABD的余弦值为10520.（12分）解：（1）设(,)Pxy，00(,)Mxy，则000(,0),(,),(0,)NxNPxxyNMy由2NPNM得002,2xxyy因为00(,)Mxy在C上，所以22122xy因此点P的轨迹方程为222xy（2）由题意知(1,0)F设(3,),(,)QtPmn，则(3,),(1,),33OQtPFmnOQPFmtn，(,),(3,)OPmnPQmtn由1OQPQ得2231mmtnn又由（1）知222mn，故330mtn所以0OQPF，即OQPF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，2017年全国卷2理科数学试题及答案解析10所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.（12分）解：（1）()fx的定义域为(0,)设()lngxaxax，则()(),()0fxxgxfx等价于()0gx因为(1)0,()0ggx，故(1)0g，而1(),(1)1gxagax，得1a若1a，则1()1gxx当01x时，()0,()gxgx单调递减；当1x时，()0,()gxgx单调递增所以1x是()gx的极小值点，故()(1)0gxg综上，1a（2）由（1）知2()ln,()22lnfxxxxxfxxx设()22lnhxxx，则1()2hxx当1(0,)2x时，()0hx；当1(,)2x时，()0hx.所以()hx在1(0,)2单调递减