数学不等式高考真题

1/151.（2018•卷Ⅱ）设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围2.（2013•辽宁）已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．3.（2017•新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．4.（2017•新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲]已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．5.（2017•新课标Ⅰ卷）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（10分）（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．6.（2017•新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲]已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．7.（2018•卷Ⅰ）已知（1）当时，求不等式的解集（2）若时，不等式成立，求的取值范围8.（2018•卷Ⅰ）已知f(x)=|x+1|-|ax-1|（1）当a=1时,求不等式f(x)1的解集（2）若x∈(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围9.（2017•新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．10.（2014•新课标II）设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（1）证明：f（x）≥2；（2）若f（3）＜5，求a的取值范围．11.（2015·福建)选修4-5：不等式选讲已知，函数的最小值为4．（1）求的值；2/15（2）求的最小值．12.（2014•新课标I）若a＞0，b＞0，且+=√．（1）求a3+b3的最小值；（2）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．13.（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（12分）（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2．14.（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．（Ⅰ）若f（x）≥0，求a的值；（Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．15.（2018•卷Ⅲ）设函数（1）画出的图像（2）当∞时，，求的最小值。16.（2013•福建）设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且（1）求a的值（2）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．17.（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（2）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．18.（2016•全国）选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)=∣x-∣+∣x+∣，M为不等式f(x)＜2的解集.（1）求M；（2）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。19.（2016•全国）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．3/1520.（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．21.（2012•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（1）求a的值；（2）若恒成立，求k的取值范围．4/15答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）a=1时，时，由（）﹤﹤当x≥2时，由f（x）≥0得：6-2x≥0，解得：x≤3；当-1＜x＜x时，f（x）≥0；当x≤-1时，由f（x）≥0得：4+2x≥0，解得x≥-2所以f（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤3}（2）若f（x）≤1，即恒成立也就是x∈R，恒成立当x=2时取等，所以x∈R，等价于解得：a≥2或a≤-6所以a的取值范围(-∞，-6]∪[2，+∞）【解析】【分析】（1）由绝对值不等式的解法易得；（2）由绝对值几何意义转化易得.2.【答案】（1）解：当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，得2≥4，无解；当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5；故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}（2）解：设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=由|h（x）|≤2得，又已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，所以，故a=3．5/15【解析】【分析】（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，直接求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥4的解集即可．（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=＜＜．由|h（x）|≤2解得，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值．3.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，，，，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（Ⅱ）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）=，，，，当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；综上，g（x）max=，∴m的取值范围为（﹣∞，]．【解析】【分析】（Ⅰ）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，，，，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围．4.【答案】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（√+√）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当√=√，即a=b=1时取等号，（Ⅱ）∵a3+b3=2，6/15∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．【解析】【分析】（Ⅰ）由柯西不等式即可证明，（Ⅱ）由a3+b3=2转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab≤（）2，即可得到（a+b）3≤2，问题得以证明．5.【答案】（1）解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二次函数，g（x）=|x+1|+|x﹣1|=，，，，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x=√，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，√]；当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，√]；（2）（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．【解析】【分析】（1.）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|=，，，，分x＞1、x∈[﹣1，1]、x∈（﹣∞，﹣1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，√]；（2.）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立⇔x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，只需，解之即可得a的取值范围．7/156.【答案】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（√+√）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当√=√，即a=b=1时取等号，（Ⅱ）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．【解析】【分析】（Ⅰ）由柯西不等式即可证明，（Ⅱ）由a3+b3=2转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab≤（）2，即可得到≤2，问题得以证明．7.【答案】（1）解：当时，，即故不等式的解集为．（2）解：当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．【解析】【分析】(1)通过对x分类讨论去掉绝对值,解不等式,求出解集;(2)不等式恒成立等价于f(x)-x0对于恒成立,即函数f(x)-x的最小值大于0,由此求出a的范围.8.【答案】（1）解：当a=1时，当时，-2＞1舍当时，2x＞1∴当时，2＞1,成立，综上所述结果为∞（2）解：∵∴8/15∵ax＞0∴a＞0.ax＜2又所以综上所述【解析】【分析】通过对x分类讨论去掉绝对值,解不等式,求出解集;(2)不等式恒成立等价于f(x)-x0对于恒成立,即函数f(x)-x的最小值大于0,由此求出a的范围.9.【答案】（1）解：∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，，，，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）=，，，，当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；综上，g（x）max=，∴m的取值范围为（﹣∞，]．【解析】【分析】（1.）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，，，，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2.）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围．9/1510.【答案】（1）解：证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（2）解：∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜