数学与音乐的巧妙结合

2500年前的一天，古希腊哲学家毕达哥拉斯外出散步，经过一家铁匠铺，发现里面传出的打铁声响，要比别的铁匠铺更加协调、悦耳。他走进铺子，量了又量铁锤和铁砧的大小,发现了一个规律，音响的和谐与发声体体积的一定比例有关。之后，他又在琴弦上做了许多试验，进一步发现只要按比例去划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程。如1:2产生八度，2:3产生五度，3:4产生四度等等。就这样，毕达哥拉斯在世界上第一次发现了音乐和数学的联系。主要内容基础乐理与数学数学知识在音乐中的综合应用数学家与音乐乐器制作中的数学原理本章主要是讲述乐理知识中的一些数学原理。其中包括乐谱的书写中的一些数学表示方式，如：我国通用的简朴就是用阿拉伯数字来表示的，不仅简单直观而且方便抄写，是目前在中小学音乐教材中最常用的书写方式。例：3/4以四分音符为一拍，每小节三拍。我们规定一个全音符=两个二分音符=四个四分音符即：1=2/2=4/4=1/4+1/4+1/4+1/4一个四分音符=两个八分音符1/4=1/8+1/8总的可以表示为：1=2/2=4/4=1/4+1/4+1/4+1/4=2*（1/8）=4*（1/16）*4音律的产生发展与数学的关系，其中包括中国古代的五度相生律的由来，以及现在普遍采用的十二平均律中的数学原理。在这一章中你会发现，音乐和数学真的脱不了关系，乐律的不断发展与完善可以完全有数学推导得出。除了上一章中所述的数学与音乐理论的关系之外，数学知识在音乐中有很多的综合运用，如指数曲线，周期函数，数学变换，数列等等。平移变换对称变换平移变换对称变换上面所介绍的都只是一些小节之间的平移。除此之外，在音乐作品当中的转调（移调）也是一种很普遍的方式，将一首曲子全曲或者某个部分整体上行或者下行几度变成另一个调性的曲子，在音乐中可以给人一种耳目一新的层次感。这也是好多作曲家惯用的手法，其实质就是将曲子整体的平移几度而已。1、2、3、5、8、13………….菲波那齐数列在音乐中得到普遍的应用，如常见的曲式类型与菲波那齐数列头几个数字相符，它们是简单的一段式、二段式、三段式和五段回旋曲式。大型奏鸣曲式也是三部性结构，如再增加前奏及尾声则又从三发展到五部结构。黄金分割比例与音乐中高潮的位置有密切关系。如果说斐波那契数在钢琴键上的出现是一种巧合,那么等比数列在音乐中的出现就决非偶然了:1、2、3、4、5、6、7、i等音阶就是利用等比数列规定的.来看一下图1,显然这个八度音程被黑键和白键分成了12个半音,并且我们知道下一个C键发出乐音的振动次数(即频率)是第一个C键振动次数的2倍,因为用2来分割,所以这个划分是按照等比数列而作出的.我们容易求出分割比x,显然x满足x^(12)=2,解这个方程可得x是个无理数,大约是0.1106。于是我们说某个半音的音高是那个音的音高的0.1106倍,而全音的音高是那个音的音高0.1106^2倍.实际上,在吉它中也存在着同样的等比数列[4]。我们分析许多著名的音乐作品，发觉其中高潮的出现多和黄金分割点相接近，位于结构中点偏后的位置：小型曲式中8小节一段式，高潮点约在第5小节左右；16小节二段式，高潮点约在第10小节左右；24小节带再现三段式，高潮点在第15小节左右。莫扎特被称为音乐神童，他在八岁是开始作曲，十岁时写了第一部歌剧。可惜他只三十六岁，据说如果让一个人抄写他的毕生作品，日夜不停的抄写，要抄三十年。莫扎特是一个数学爱好者，据统计他的作中有百分之九十满足黄金分割。后人说莫扎特音乐可以开发智力，或许正是应为他他的作品里透着无数的数学知识把。讲到乐器制作中的数学原理[6]，我们有必要吧第二章中一些知识以及弦振动公式重申一遍。音高是由频率决定的振幅决定了声音的强度音色（音质）是由发声物体的材质决定音的长短（时值）是由发声的时间规定C2（16.35赫兹）、C1（32.7赫兹）、C（65.4赫兹）、c（130.8赫兹）、c1（261.6赫兹）、c2（523.2赫兹）、c3（1046.4赫兹）、c4（2092.8赫兹），对于人声就只有C、c、c1、c2假定一根空弦发出的音诗do，则二分之一长度的弦发出的就是高八度的do，8/9长度的弦发出re,64/81长度的先发出mi，3/4长度的弦发出fa，2/3长度的弦发出so,16/27长度的弦发出la,128/243长度的弦发出si等以此类推，如果我们以音位横坐标，弦长为纵坐标，很弱故意就可以会出一天近似的指数曲线。这就是为什么三角钢琴的形状近似于指数曲线了，这样不仅可以使材料最省，而且优雅美观。1,8/9,64/81,3/4,2/3,16/27,128/243吉他弦从一弦到六弦，由细到粗，长度一样，但每弦的音高都不一样，这时怎样做到的呢？这归结到我们之前所说的频率公式，由于一弦和二弦粗细一样，而频率不一样，故一弦拉的紧，也就是张力T不一样。值得注意的是一弦和他们的音是一样的，而一弦和六弦的粗细不一样，材质不一样，故他们的p不一样，音高也自然容易控制了。另外一点，我们知道琴颈上的品格（把位）是由宽到窄的，每向前移动一品格，就升高半个音，而移动一个八度之后，品格的宽度刚好是低八度品格的一半。这些都并非巧合，如果需要们可以用游标卡尺和螺旋测微仪做精细的测量对比，相信在吉他制作之前也是经过严密的数学计算才能够这样轻而易举的批量生产的。笛子的发声自然是整个笛身的震动，而气柱的长度不同使得我们可以轻而易举的控制应高。观察笛子音孔的分布我们可以看到，在半音的地方，两个音孔距离很近，而在全音的地方音孔的距离是半音处的两倍，这是针对目前的七声音阶笛子，而对于中国传统的五声音阶来讲，笛子的音孔是均匀分布的。试想，如果我们用同种材质，粗细一样的管子来制作笛子，那么只要计算好音孔的位置，以及标注好在管子上的比例，那么批量生产也是如此简单易行，这就大大的降低了笛子的制作成本。音乐，就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的。——莱布尼茨我们这个世界可以由音乐的音符组成也可以由数学公式组成。——爱因斯坦德国物理学家赫尔姆霍茨说：“在中国人中，有一个明朝的王子叫朱载堉，他在旧派音乐家的大反对中，倡导七声音阶。把八度分成十二个半音以及变调的方法，也是这个有天才和技巧的国家发明的。”1997年中国国家领导人出访美国，在哈佛大学演讲时说“明代朱载堉首创的十二平均律，后来成为国际通行的标准音调”。爱因斯坦经常在弹奏钢琴时思考难以捉摸的科学问题。据他妹妹玛雅回忆，他有时在演奏中会突然停下来激动地宣布：“我得到了它！”仿佛有神灵启示一样，答案会不期而遇地在优美的旋律中降临。据他的小儿子汉斯说：“无论何时他在工作中走入穷途末路或陷入困难之境，他都会在音乐中获得庇护，通常困难会迎刃而解。类似爱因斯坦的例子有好多，从中国的朱载堉、陶哲轩到国外的傅里叶、莱布尼兹等，无数的数学家与音乐都有着许许多多有趣的故事和经历，他们研究数学，喜欢音乐，从音乐中的到了对数学启迪和感悟，用数学的方式感受他们自己独特的音乐。也许正是因为除却数学的逻辑和推理之外音乐能带给他们创造性的一颗时刻灵动和“跳跃着”的心吧！毕达哥拉斯说：“音乐之所以神圣而崇高，就是因为它反映出作为宇宙本质的数的关系。”世界上哪里有数，哪里就有美。数学像音乐及其它艺术一样能唤起人们的审美感觉和审美情趣。在数学家创造活动中，同样有情感、意志、信念、等审美因素参与，数学家创造的定义、定理、公理、公式、法则如同所有的艺术形式如诗歌、音乐、绘画、雕塑、戏剧、电影一样，可以使人动情陶醉，并从中获得美的享受。音乐能诠释人们的喜怒哀乐，我们通过音乐把自己对大自然、人生的态度等表现出来,即音乐抒发人们的情感。我们也可以不用语言，单是通过音乐与他人甚至是动物、植物来进行简单或者是复杂的情感上的沟通和交流。数学是以一种理性的、抽象的方式来描述世界,使人类对世界有一个客观的、科学的理解和认识。数学贯穿人类文明的始终，无论是生老病死，还是日常的工作生活，都不能脱离数学。数学和音乐的结合是一种感性和理性的融通，如果我们能将这种关系加以完善和利用，那么一定可以演绎出一种无与伦比的“完美境界”！