4- 优化设计-1数学基础和数学模型

1第三章优化设计2一、优化设计的概念以方案最优为目标，采用数学方法，借助计算机，通过对可行解的计算、分析、比较来完成设计的方法。优化设计与传统设计的差异传统设计——求得可行解优化设计——解算最优解方法不同结果不同3二、优化设计的内涵设计参数功能、结构…设计方案参数优化参数值的优化、组合设计问题设计参数不同取值、搭配之下设计目标、方案的变化规律4三、优化设计的一般过程实际问题建立数学模型选择确定计算方法编制计算程序上机计算求出结果设计要求（目标、准则）设计限制（约束条件）设计参数（设计变量）分析设计目标与设计参数间关系5四、优化设计数学模型4.1、相关数学概念1)设计变量：设计问题中与设计目标关联且可调整、改变和优选的功能、结构等独立参数。设计变量分类１）连续变量：在给定区间可任意取值２）离散变量：在给定范围可间断取值优化设计分析计算的数据对象例如，轴的直径、长度、转速、载荷等。62)设计参数：设计问题中与设计目标关联的常量、标准等在设计过程中不变或预先确定的数值及指标参数优化设计所引用、参照的数据对象，设计过程中，取值不变表现为常量例如：材料密度、强度极限、熔点、疲劳周期73)设计空间：由设计问题各设计变量所构成的向量空间。轴的设计空间数学表达式:X=[x1,x2,…xn]T设计空间的坐标轴—设计变量设计空间的维度—设计变量个数设计空间中的点—该点所对应设计变量取值下的设计方案。设计空间本质：优化设计问题的求解空间8实例：轴的最大直径、最高转速、最大载荷约束条件作用：规定优化设计问题设计变量的取值范围约束条件本质：界定优化设计问题求解空间大小、范围的边界条件4)约束条件：设计问题所关联设计变量的取值限制、要求。91）按形式分：不等式约束和等式约束a-x1≤0；ax1+bx2-C=02）按性质分：边界约束和性能约束边界约束：直接规定设计变量取值范围、区间的约束条件，a-x1≤0；性能约束：设计性能指标、要求等所形成的间接规定设计变量取值范围的约束。例如：强度800MPa，约束条件类型105）可行域：满足所有约束条件的设计变量取值的集合0)(0)(|XhXgXvu，可行域的本质：由优化问题相关所有约束条件所限定的设计变量的取值空间。优化设计问题最优解的求解空间数学表达式：),,2,1,,2,1(pvmu；116）目标函数：针对设计目标，基于设计约束所建立的由设计变量驱动的设计方案评价函数目标函数实质：优化设计问题求解的数学工具12目标函数的类型单目标函数－评价准则唯一，由一个函数构成例如：以轴的重量最轻为目标多目标函数－评价准则不唯一，多函数组合而成例如：以轴的重量轻、强度大为目标单目标函数表达式：f(x)=f(x1,x2,…,xn)多目标函数表达式：f(x)=ω1f1(x)+ω2f2(x)+…+ωqfq(x)13①f(x)是关于优化问题设计变量的函数，其取值应随设计变量的变化上升或下降②f(x)应该是实函数，是可计算的③f(x)可以有物理意义，有单位的，也可以没有物理意义。目标函数f(x)的属性14关于目标函数的问题和思考：①f(x)是否应包含所有设计变量？②f(x)若是越大越好，则应如何处理，越小越好呢？③多目标函数的分目标函数f1(x)，f2(x)，fq(x)中有些越小越好,有些越大越好,应如何处理？154.2优化设计数学模型的一般形式求设计变量X=[x1,x2,…,xn]的具体取值使目标函数f(x)=f(x1,x2,…,xn)X∈Rn在约束条件下gu(x)≤0u=1,2,…,mhv(x)=0v=1,2,…,pn取得极值（最大或最小）16问题：某厂日生产甲、乙两产品所需材料、工时、电力供应量和利润数据见下表。试确定每天可获最大利润的甲、乙生产量。产品材料/kg工时/h电力/(kw.h)利润/元甲93460乙4105120供应量3603002004.3优化设计数学模型举例17问题分析：该问题归结为如下的一个优化问题：既在当前生产条件下，如何安排产品甲、乙的日生产数量，使得企业每天所能够获得的利润最大。解：设计变量：产品甲、乙的日产量目标函数：企业生产甲、乙产品每天的利润设每天生产甲产品x1件乙产品x2件，则每天利润可用函数f(x1,x2)表示为：f(x1,x2)=60x1+120x218200g,5x4x)x,(xg300g,10x3x)x,(xg360g,4x9x)x,(xg212121212121电力电力工时工时材料材料约束条件：产品甲、乙每天的生产消耗限制19上述问题可归结为如下数学模型12,xx11212212123121241215122(,)94360(,)310300(,)45200(,)0(,)0gxxxxgxxxxgxxxxgxxxgxxx并满足如下约束条件：求变量：使函数1212(,)60120fxxxx极大化20五、优化方法的数学工具5.1、梯度1）梯度定义：函数在空间某点X(k)处各一阶偏导数组成的向量。2）梯度数学表达式TnkkkkxXfxXfxXfXf)(,,)(,)()()(2)(1)()(例:f(X)=x12+3x2在点X0=(1,1)处梯度为∵f(X)/x1=2X1=2;f(X)/x2=3∴▽f(x)=(2,3)21３）梯度性质(1)函数在某点沿梯度方向上升最快，沿梯度反向下降最快．(2)函数沿梯度锐角方向上升，钝角方向下降．(3)函数在某点梯度方向就是该点等值线或等值面的法向。(4)函数在某点梯度为零是函数在该点取得极值的必要条件．22注意：函数沿某点梯度方向的升降趋势仅在该点邻域内有效234)梯度对于优化设计的作用１：用目标函数一阶导函数求极值点F’(X)＝０２：确定极值点搜索方向24若函数f(x)在点xk邻域内n阶可导，则其在该点邻域内可通过泰勒展开转化为线性函数或二次函数：nkkkkkRxxxfxxxfxfxf2)()(21)()()()(5.2多元函数泰勒展开一元函数泰勒展开25多元函数泰勒展开（前三项）))(()(21)()()()()()(1,)()(1)()(kjjkiinjijikkiiniikkxxxxxxXfxxxXfXfXf写成矩阵形式：))(()(21)()]([)()()()(2)()()()(kkTkkTkkXXXfXXXXXfXfXf多元函数泰勒二次近似式26其中，为f(x)二阶导数矩阵，称海森(Hessian)矩阵，用H(x)表示。2212122122)(...)(:...:)(...)()()(nnnxXfxxXfxxXfxXfXHXf)(2Xf由偏导数属性可知，多元函数的海森(Hessian)矩阵为对称矩阵。27多元函数泰勒展开的本质复杂函数的线性化和二次化泰勒展开对于优化设计的作用目标函数线性函数二次函数泰勒展开极值求解优化设计285.3二次函数１、定义：含有n个变量的二次多项式函数（函数项最高次数为2），表达式为：cxbxxaXfknkkjininjij111)(若二次函数f(x)中没有一次项和常数项，则称为二次型函数，表示为：jininjijxxaXf11)(最简单的二次函数29cx...xx,...,b,bbx...xxa...aa............a...aaa...aa],...,x,x[xf(X)nnnnnnnnnn21212121222211121121２、二次函数的矩阵形式二次型函数矩阵形式nnnnnnnnx...xxa...aa............a...aaa...aa],...,x,x[xf(X)2121222211121121二次型矩阵A30３、二次函数的极值条件1）极小值条件：函数在该点梯度为零，二阶导数（海森）矩阵正定。2）极大值条件：函数在该点梯度为零，二阶导数（海森）矩阵负定。0)(*Xf正定*)(2Xf0)(*Xf负定*)(2Xf31４、矩阵正定与负定的判别1）如果矩阵各阶主子式均大于零，则矩阵正定。一阶主子式二阶主子式011a022211211aaaa2）如果矩阵各阶主子式正负相间则矩阵负定。011a022211211aaaa32例子：求f(x1,x2)＝2x12-8x1+2x22-4x2+20的极值点及极值。解：由极值点梯度为０的必要条件004484)()()(2121xxxXfxXfXf可得驻点为：X*=[2，1]33函数在驻点X*=[2，1]的海森矩阵为：4004*)(222122212212xfxxfxxfxfXH驻点X*的海森矩阵各阶主子行列式为040042H041H矩阵正定X*为极小点，值为：345.4等值线（等值面）对于目标函数某确定取值c，存在多个对应的设计点（设计变量的不同取值），这些设计点集合在设计空间中构成的曲线或曲面称为等值线或等值面。当f(x)取不同值时，就获得一族曲线、面，称为等值线、面族。f(x)是二元函数－等值线族；f(x)是三元函数－等值面族；35等值线（面）的特点不同值的等值线/面不相交除极值点外等值线在设计空间内不会中断等值线可反映目标函数变化规律，愈内层的等值线其函数值愈小，等值线族的中心点就是目标函数的极值点。等值线间隔愈密，表示该处函数值的变化愈大，否则变化愈小基于等值线与可行域可以确定最优设计点的位置36原理：根据等值线与可行域的相互关系确定最优点位置，求解优化问题等值线应用－优化问题图解法37优化问题图解法的一般步骤1、确定问题的设计变量及设计空间2、作出约束可行域3、画目标函数一簇等值线4、依据可行域中目标函数曲线的走势和分布分析、判断、确定优化点的出现区域和位置