教材回归(四) 等腰三角形的角度计算

数学人教版八年级上册课件目录首页末页教材回归(四)等腰三角形的角度计算(教材P76例1)如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD.求△ABC各角的度数．解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，于是在△ABC中，图1数学人教版八年级上册课件目录首页末页有∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.【思想方法】根据三角形的内角和定理、外角性质以及角平分线、平行线的性质等列出方程，是求角大小的重要方法，充分运用了方程的思想．数学人教版八年级上册课件目录首页末页[2015·湘西州]如图2，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为()A．36°B．60°C．72°D．108°【解析】∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝36°，∴∠1＝∠A＋∠ABD＝72°.C图2数学人教版八年级上册课件目录首页末页[2015·南宁]如图3，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为()A．35°B．40°C．45°D．50°A图3【解析】∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠BAD＝40°，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC＋∠C＝70°，∴∠C＝12∠ADB＝35°.数学人教版八年级上册课件目录首页末页[2015·内江]如图4，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E＝35°，则∠BAC的度数为()A．40°B．45°C．60°D．70°A图4数学人教版八年级上册课件目录首页末页【解析】∵AE∥BD，∴∠CBD＝∠E＝35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA＝70°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠CBA＝70°，∴∠BAC＝180°－70°×2＝40°.数学人教版八年级上册课件目录首页末页如图5，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M.下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△AMD≌△BCD，正确的有()A．0个B．3个C．2个D．1个图5C数学人教版八年级上册课件目录首页末页[2015·西宁]等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是_______________．【解析】此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°－20°＝70°.110°或70°变形5答图数学人教版八年级上册课件目录首页末页如图6，点K，B，C分别在GH，GA，KA上，且AB＝AC，BG＝BH，KA＝KG，求∠A的度数．图6数学人教版八年级上册课件目录首页末页解：设∠A＝x.∵KA＝KG，∴∠G＝∠A＝x，∵BG＝BH，∴∠H＝∠G＝x.由三角形的外角性质，得∠ABC＝∠G＋∠H＝2x，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝2x，∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠A＝36°.数学人教版八年级上册课件目录首页末页已知：如图7，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，BD⊥AC于D.求：(1)∠C的度数；(2)∠DBC的度数．解：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠C＝2∠A，∴∠ABC＝2∠A，∴∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，∴∠A＝36°，∴∠C＝2∠A＝72°；(2)∵BD⊥AC于D，∴∠BDC＝90°，∵∠C＝72°，∴∠DBC＝90°－72°＝18°.图7数学人教版八年级上册课件目录首页末页如图8，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.(1)求∠ECD的度数；(2)若EC＝5，求BC的长．解：(1)解法一：∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；解法二：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝90°，又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE，∴∠ECD＝∠A＝36°；图8数学人教版八年级上册课件目录首页末页(2)解法一：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°.∵∠ECD＝36°，∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°，∴∠BEC＝72°＝∠B，∴BC＝EC＝5；解法二：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°.∵∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5.数学人教版八年级上册课件目录首页末页如图9，△ABC中，BC＝AC，∠B＝36°，点D是BC边上一点，CD＝AD，求∠1与∠2的度数．解：∵BC＝AC，∴∠1＝∠B＝36°.又∵CD＝AD，∴∠2＝∠ACD＝∠1＋∠B＝72°.图9数学人教版八年级上册课件目录首页末页如图10，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝40°，AD＝AE.求∠CDE的度数．解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠BAD＝∠CAD＝40°，AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°.∵AD＝AE，∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝20°.∴∠ADE＝∠AED＝12(180°－∠CAD)＝70°，图10数学人教版八年级上册课件目录首页末页如图11，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°.(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC＝AB.(1)解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180°，∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°.∵∠DAB＝45°，∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°＝75°；图11数学人教版八年级上册课件目录首页末页(2)证明：∵∠B＝30°，∠DAB＝45°，∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝75°，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∵AB＝AC，∴DC＝AB.数学人教版八年级上册课件目录首页末页如图12，已知BC＝CD＝DE＝AE，∠A＝20°.(1)求∠DEC的度数；(2)求∠B的度数．图12数学人教版八年级上册课件目录首页末页解：(1)∵DE＝AE，∠A＝20°，∴∠A＝∠ADE＝20°，∴∠DEC＝∠A＋∠ADE＝20°＋20°＝40°；(2)∵DE＝CD，∠DEC＝40°，∴∠DCE＝∠DEC＝40°，∴∠BDC＝∠A＋∠DCE＝20°＋40°＝60°.∵BC＝CD，∴∠B＝∠BDC＝60°.数学人教版八年级上册课件目录首页末页如图13，△ABC中，AB＝AC，D在BC上，且BD＝AD，DC＝AC，求∠B的度数．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵BD＝AD，∴∠B＝∠BAD，则∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2∠B.∵DC＝AC，∴∠ADC＝∠DAC＝2∠B.在△ADC中，∠ADC＋∠DAC＋∠C＝180°，则2∠B＋2∠B＋∠B＝180°，∴∠B＝36°.图13数学人教版八年级上册课件目录首页末页[2015·河北]如图14，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝_______．9数学人教版八年级上册课件目录首页末页【解析】由题意可知：AO＝AA1，AA1＝A1A2，…，则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，当达到90°时，便不能再往右画弧了，∴9°n＜90°，解得n＜10.由于n为整数，故n＝9.图14