考研高数总复习无穷小的比较(讲义)

无穷小的比较第9节一、无穷小的阶及其比较例如,xxx3lim20xxxsinlim020limxxx2210,,,sin,sinxxxxxx当时都是无穷小.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.23;xx比要快得多sin;xx与大致相同,0,1观察各极限型）（001.,0()(2)(3)(0)1(0,0)kCCCCkk定义设是在自变量变化的同一过程中的两个无穷小，且0.(1)如果lim，则称是比高阶的无穷小，记作；如果lim，则称是比低阶的无穷小；如果lim，则称是与同阶的无穷小，特别地，如果lim，则称是与等价的无穷小，记作；（4）如果lim，则称是的阶无穷小.，03lim20xxx，1sinlim0xxx203;xxx当时，是的高阶的无穷小).0()3(2xxox即0sin.xxx当时，与是等价无穷小).0(~sinxxx即例如，0sin1xx也称：当时，是阶无穷小。北京理工大学数学系例1.sintan,0:的三阶无穷小为时当证明xxxx解30sintanlimxxxx)cos1sincos1(lim20xxxxxx,21.sintan的三阶无穷小为xxx2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx230sinxxx练习：1.当时，试确定的阶.01-cosxx2.当时，试确定的阶.？？？是不是任意两个无穷小都可以进行阶的比较,1)(xxfxxxgsin)()()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大北京理工大学数学系2().o定理与是等价无穷小的的充分必要条件为称是的主要部分．证必要性，设~1limlim，0．，即)()(oo充分性．设)(o)(limlimo）（１＋)(limo，1．~北京理工大学数学系意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,),(sinxoxx).(21cos122xoxx,0时当xxycos1221yx常用等价无穷小:,0时当x)0(~1)1(,21~cos1,1~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~2aaxxxxexxxxxxxax.21~cos1,~sin2xxxx例２解)1ln(lim1lim00uuxeuxx.1lim0xexx求,1uex令),1ln(ux即,0,0ux有时则当uuu10)1ln(1limuuu10)1ln(lim1eln1.1.1~),1ln(~0xexxxx时，即，当北京理工大学数学系二、等价无穷小代换定理3(等价无穷小代换定理).limlim,lim~,~则存在且设证lim)lim(limlimlim.lim北京理工大学数学系lim'()()()~'(),lim()()lim()()lim'()()xfxxxxfxxfxxfx推论1.若存在，则也存在，且'()()~'(),()~'(),lim()'()()()'()lim()lim()lim()()()'()xxxxxfxxxxxfxfxfxxxx推论2.若存在，则也存在，且北京理工大学数学系例３.cos12tanlim20xxx求解.2~2tan,21~cos1,02xxxxx时当22021)2(limxxx原式.8若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．北京理工大学数学系01coslim1cosxxx练习：2002001cos1cos,01cos111cos~,1cos~221cos1coslimlim1cos(1cos)(1cos)12limlim011cos(1cos)2xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：当时：且从而，北京理工大学数学系不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小一般不能分别代换.注意例４.arcsinsin)1(lim0xxxx求解.~arcsin,~sin,0xxxxx时当xxxx)1(lim0原式.1)1(lim0xx北京理工大学数学系例５.2sinsintanlim30xxxx求解.~sin,~tan,0xxxxx时当30)2(limxxxx原式.0解,0时当x)cos1(tansintanxxxx,21~3x,2~2sinxx330)2(21limxxx原式.161错北京理工大学数学系例6.3sin1cos5tanlim0xxxx求解),(55tanxoxx),(33sinxoxx).(21cos122xoxx)(3)(21)(5lim220xoxxoxxoxx原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20.35北京理工大学数学系1、无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.小结北京理工大学数学系作业•P67:2;3;5(偶)•P80:32(偶);33;34