北师大版九年级数学下册讲义(新课复习版)

1第一讲成比例线段及平行线分线段成比例一、知识点荟萃1、线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成nmCDAB2、四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即dcba,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.3.注意点:①a:b=k,说明a是b的k倍;②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b之外,a:b≠b:a,ba与ab互为倒数;⑤比例的基本性质:若dcba,则ad=bc;若ad=bc,则dcba。4、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：a∥b∥c，则EFBCDEAB5、黄金分割：如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,ACBCABAC,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.ACAB＝5－12≈0.618.注意：一条线段有两个黄金分割点．26、比例性质：（1）如果ab＝cd，那么，反之也成立．其中a与d叫做比例外项，b与c叫做比例内项．特殊地，ab＝bc⇔b2＝ac.（2）比例的合比性质如果ab＝cd，那么a±bb＝c±dd.（3）比例的等比性质如果ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)，那么a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab.二、典例精讲例1、根据比例性质求解：（1）（2）已知43ba，则bba，bba，例2、已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a－b+c=6.（1）求a，b，c的值。（2）求4a－3b+c的值。例3、.若kbcacbaacb，求k的值。例4、四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3cm,c=2cm,d=6cm,则线段a的长度是多少？如果改成四条线段b、c、d、a成比例，其中b=3cm,c=2cm,d=6cm,则此时线段a的长度是多少？例5.如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC,_____,917yxyyx则若3(1)BECFDA（1）如果AE=7,EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？（2）如果AB=10,AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？例6、已知l1//l2//l3,AB=5,BC=7，EF=4，求DE的长。三、中考链接四、课堂练习1、若fedcba=2，则fdbeca__________;fdbeca22______________2、1,3,____2aceacebdfbdf已知且则的值）的值（）求（、已知：cacbbcbcba32a2a1.753344、下列四组线段中，成比例线段的是（）A3cm,4cm,5cm,6cmB4cm,8cm,3cm,5cmC5cm,15cm,2cm,6cmD8cm,4cm,1cm,3cm5、在比例尺是1：6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米，南京到北京的实际距离是千米。6、一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，则这两条线段之比是______7、已知a、b、c、d是成比线段,a=4cm,b=6cm,d=9cm,则c=____84、如果yx52，那么yx=____9、把pqmn写成比例式，写错的是（）10、已知a:b:c=2:3:4,且a+b+c=15，则a=___,b=___,c=__11、如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC,（1）如果AD=3.2cm,DB=1.2cm，AE=2.4cm,那么EC的长是多少？（2）如果AB=5cm,AD=3cm，AC=4cm，那么EC的长是多少？五、课后作业1、如果53bba,那么ba=________。____23,412的值为则、若bbabanpqmA.qnmpB.pnmqC.qpnmD.53、已知43yx,则._____yyx4、已知37baba，则ba______________5、fedcba=54，则fbdeac3232___________.6、（1）、如果ba452，则ab=_______.（2）、如果3a=7b,则ba________.（3）、如果2c=15b,则cb_______.（4）、如果a2=bc,则ca_________.7、如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，下列不能成立的比例式一定是（）A．ECAEDBADB．AEACADABC．DBECABACD．BCDEDBAD8、如图，E是□ABCD的边CD上一点，CDCE31，AD＝12，那么CF的长为（）A．4B．6C．3D．129、如图□ABCD，E在CD延长线上，AB＝10，DE＝5，EF＝6，则BF的长为（）A．3B．6C．12D．16[来源:学科网]10、如图：P是四边形OACB对角线的任意一点，且PM∥CB，PN∥CA，求证：OAMB=OBNA7题8题9题OPNMCBA10题6ADDBCNM第二讲相似多边形及三角形相似的条件一、知识点荟萃1、相似多边形：形状相同，大小不一定相同的多边形叫相似多边形.相似符号为“∽”.相似多边形对应角相等对应边的比相等。相似多边形对应边的比叫做相似比.[来源2、相似三角形的相关概念(1)三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形(2)相似三角形的对应角相等，各对应边成比例.(3)相似比等于1的两个三角形全等.3、三角形相似的条件：（1）如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似。（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不相似。二、典例精讲例1、把一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是()A.2∶1B.4∶1C.2∶1D.1∶2例2、如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4（1）求AD的长：(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比。例3：如图：D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE//BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长。CBADE7例4、如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到D，使CD=21AC，延长BC到E，使CE＝21BC，连接DE，如果测量DE=20m，那么AB=2×20=40m。你知道这是为什么吗？例5、如果△ABC与△A’B’C’两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？例6：如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点。AE=1.5，AC=2，BC=3，且43ABAD，求DE的长。三、课堂练习50°)4ABC3.2250°)1.6EDF81.如果两个多边形形相似，则对应边，对应角，对应边的比就是它们的。2、两个相似多边形的对应边的比是32，则这两个多边形的相似比是________.3.如果六边形ABCDEF∽六边形A′B′C′D′E′F′，∠B=62°，那么∠B′等于（）A.28°B.118°C.62°D.54°4.等边三角形ABC和三角形A′B′C′相似，相似比为5：2，若AB=10，B′C′等于5、判断下列每组中的两个图形是相似多边形吗？并说明理由．（1）两个大小不等的矩形；（）(2)两个大小不等的正五边形；（）(3)一个正方形与一个平行四边形；（）(4)两个大小不等的菱形（）6.如图,∠A=52°,AB=2.5,AC=5.5,△DEF中,∠E=52°,DE=7,EF=3,△ABC与△EDF是否相似?为什么?525.52.5CBA5237DEF7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D。（1）请指出图中所有的相似三角形；（2）你能得出AD²=BD•DC吗？四、课后作业1、如图，EFAD∽ABCD，则∠A的对应角是________，ACBD977012166x678ABABDDC′′′′∠B的对应角是________，ABAF)()(2、△ABC∽△'''CBA，若对应边AB与''BA的长分别为50厘米和40厘米，则△'''CBA与△ABC的相似比是()A.5∶4B.4∶5C.5∶25D.25∶53、如图，已知四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，求出∠A′与x的值[来源:学_科_网]4、下列图形中一定相似的是()[来源:Z,xx,k.Com]A.有一个角相等的两个平行四边形B.有一个角相等的两个等腰梯形C.有一个角相等的两个菱形D.有一组邻边对应成比例的两平行四边形5.在△ABC与△DEF中，∠A=∠D=70°，∠B=60°，∠E=50°，这两个三角形相似吗？6.如图：在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O。找出图中的相似三角形，并说明理由。CCOCABD10第三讲相似三角形的判定及性质一、知识点荟萃1、相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。2、相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似3、相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比4、三角形相似的基本图形：（1）平行型：①如图“A型”即公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC②“X型”，即对顶角对的边平行，则△AOB∽△DOC（2）相交型：①“共角型”，即其公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则有△ABC∽△ADE②“共角共线型”，即公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边，则△ABC∽△ACD③“蝴蝶型”，即对顶角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ABC∽△ADE11“共角型”“共角型”“共角共线型”“蝴蝶型”（3）母子型：直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ADC∽△CDB∽△ACB二、典例精讲例1.根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：(1)，，；，，.(2)，，；，，例2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？例3.已知：∽，分别是两个三角形的角平分线.求证：.12例4.如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.例5.如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，求AE的长．例6、如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD=2，BD=4，∠ACD=∠B，求AC的长．例7、如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F．（1）求证：∠DCP=∠DAP；（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．13ABCDEF例8、在△ABC中，∠C＝900，BC＝8㎝，AC︰AC＝3︰5，点P从点B出发，沿BC向点C以2㎝/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1㎝/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发：（1）过多少秒△CPQ∽△CBA？（2）经过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似三、中考链接1、（2014•乌鲁木齐）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（）A．B．C．D．12、（