2013年高考理科数学辽宁卷word解析版

12013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(辽宁卷)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013辽宁，理1)复数1i1z的模为()．A．12B．22C．2D．2答案：B解析：∵1i111ii1(i1)(i1)22z，∴|z|＝22112222，故选B.2．(2013辽宁，理2)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝()．A．(0,1)B．(0,2]C．(1,2)D．(1,2]答案：D解析：0＜log4x＜1⇔log41＜log4x＜log44⇔1＜x＜4，即A＝{x|1＜x＜4}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选D.3．(2013辽宁，理3)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为()．A．34,55B．43,55C．34,55D．43,55答案：A解析：与AB同方向的单位向量为ABAB＝223,434,5534，故选A.4．(2013辽宁，理4)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列nan是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()．A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4答案：D解析：如数列为{－2，－1,0,1，…}，则1×a1＝2×a2，故p2是假命题；如数列为{1,2,3，…}，则nan＝1，故p3是假命题．故选D.25．(2013辽宁，理5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()．A．45B．50C．55D．60答案：B解析：由频率分布直方图，低于60分的同学所占频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，故该班的学生人数为150.3＝50.故选B.6．(2013辽宁，理6)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝12b，且a＞b，则∠B＝()．A．π6B．π3C．2π3D．5π6答案：A解析：根据正弦定理：asinBcosC＋csinBcosA＝12b等价于sinAcosC＋sinCcosA＝12，即sin(A＋C)＝12.又a＞b，∴∠A＋∠C＝5π6，∴∠B＝π6.故选A.7．(2013辽宁，理7)使13nxxx(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为()．A．4B．5C．6D．7答案：B解析：13nxxx展开式中的第r＋1项为Crn(3x)n－r32rx＝52C3nrrnrnx，若展开式中含常数项，则存在n∈N＋，r∈N，使52nr＝0，故最小的n值为5，故选B.8．(2013辽宁，理8)执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出S＝()．3A．511B．1011C．3655D．7255答案：A解析：当n＝10时，由程序运行得到222221111121416181101S111111335577991111111111111213355779911110521111.故选A.9．(2013辽宁，理9)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有()．A．b＝a3B．31baaC．331()0babaaD．3310babaa答案：C解析：若B为直角，则0OBAB，即a2＋a3(a3－b)＝0，又a≠0，故31baa；若A为直角，则0OAAB，即b(a3－b)＝0，得b＝a3；若O为直角，则不可能．故b－a3＝0或b－a3－1a＝0，故选C.10．(2013辽宁，理10)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()．A．3172B．210C．132D．310答案：C解析：过C点作AB的平行线，过B点作AC的平行线，交点为D，同理过C1作A1B1的平行线，过4B1作A1C1的平行线，交点为D1，连接DD1，则ABCD－A1B1C1D1恰好成为球的一个内接长方体，故球的半径r＝22234121322.故选C.11．(2013辽宁，理11)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝()．A．16B．－16C．a2－2a－16D．a2＋2a－16答案：B解析：∵f(x)－g(x)＝2x2－4ax＋2a2－8＝2[x－(a－2)][x－(a＋2)]，∴1(),(,2],(),(2,2],(),(2,],fxxaHxgxxaafxxa＝2(),(,2],(),(2,2],(),(2,],gxxaHxfxxaagxxa＝可求得H1(x)的最小值A＝f(a＋2)＝－4a－4，H2(x)的最大值B＝g(a－2)＝－4a＋12，∴A－B＝－16.故选B.12．(2013辽宁，理12)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝exx，f(2)＝2e8，则x＞0时，f(x)()．A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值答案：D解析：令F(x)＝x2f(x)，则F′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝exx，F(2)＝4·f(2)＝2e2.由x2f′(x)＋2xf(x)＝exx，得x2f′(x)＝exx－2xf(x)＝2e2xxfxx，∴f′(x)＝3e2xFxx.令φ(x)＝ex－2F(x)，则φ′(x)＝ex－2F′(x)＝2ee(2)exxxxxx.∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0.∴φ(x)≥0.又x＞0，∴f′(x)≥0.∴f(x)在(0，＋∞)单调递增．∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D.第Ⅱ卷5本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013辽宁，理13)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________．答案：16π－16解析：由三视图可知该几何体是一个底面半径为2的圆柱体，中间挖去一个底面棱长为2的正四棱柱，故体积为π·22·4－2×2×4＝16π－16.14．(2013辽宁，理14)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝__________.答案：63解析：因为x2－5x＋4＝0的两根为1和4，又数列{an}是递增数列，所以a1＝1，a3＝4，所以q＝2.所以S6＝611212＝63.15．(2013辽宁，理15)已知椭圆C：2222=1xyab(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝45，则C的离心率e＝__________.答案：57解析：如图所示．根据余弦定理|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，即|BF|2－16|BF|＋64＝0，得|BF|＝8.又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB|·|BF|cos∠ABF，得|OF|＝5.根据椭圆的对称性|AF|＋|BF|＝2a＝14，得a＝7.又|OF|＝c＝5，故离心率e＝57.616．(2013辽宁，理16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为__________．答案：10解析：设5个班级的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则1234575xxxxx，2222212345777775xxxxx＝4，即5个整数平方和为20，最大的数比7大不能超过3，否则方差超过4，故最大值为10，最小值为4.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013辽宁，理17)(本小题满分12分)设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈π0,2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解：(1)由|a|2＝23sinx＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈π0,2，从而sinx＝12，所以π6x.(2)f(x)＝a·b＝3sinx·cosx＋sin2x311sin2cos2222xxπ1sin262x，当ππ0,32x时，πsin26x取最大值1.所以f(x)的最大值为32.18．(2013辽宁，理18)(本小题满分12分)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角CPBA的余弦值．(1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.7因为BC⊂平面PBC.所以平面PBC⊥平面PAC.(2)解法一：过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝3.因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(3，0,0)，P(0,1,1)．故CB＝(3，0,0)，CP＝(0,1,1)．设平面BCP的法向量为n1＝(x，y，z)，则110,0,CBCPnn所以30,0,xyz不妨令y＝1，则n1＝(0,1，－1)．因为AP＝(0,0,1)，AB＝(3，－1,0)．设平面ABP的法向量为n2＝(x，y，z)，则220,0,APABnn所以0,30,zxy不妨令x＝1，则n2＝(1，3，0)，于是cos〈n1，n2〉＝36422.所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为64.解法二：过C作CM⊥AB于M，因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PA⊥CM，故CM⊥平面PAB.过M作MN⊥PB于N，连接NC，由三垂线定理得CN⊥PB.所以∠CNM为二面角CPBA的平面角．8在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，得BC＝3，CM＝32，BM＝32，