《高数微积分》PPT课件

一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.},,,{21naaaA}{所具有的特征xxM有限集无限集,Ma,Ma.,,的子集是就说则必若BABxAx.BA记作数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:.,,RQQZZN.,,相等与就称集合且若BAABBA)(BA},2,1{A例如},023{2xxxC.CA则不含任何元素的集合称为空集.)(记作例如,}01,{2xRxx规定空集为任何集合的子集.2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点..,,baRba且}bxax{称为开区间,),(ba记作}{bxax称为闭区间,],[ba记作oxaboxab}{bxax}{bxax称为半开区间,称为半开区间,),[ba记作],(ba记作}{),[xaxa}{),(bxxboxaoxb有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域:.0,且是两个实数与设a0().，Ua记作,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径(){}.，Uaxaxaxaaa,邻域的去心的点a0(){0}.，Uaxxa,}{邻域的称为点数集aaxx4.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.5.绝对值:00aaaaa)0(a运算性质:;baab;baba.bababa)0(aax;axa)0(aax;axax或绝对值不等式:二、函数概念例圆内接正多边形的周长nnrSnsin2,5,4,3n3S5S4S6S圆内接正n边形Orn因变量自变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx.}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，数集D叫做这个函数的定义域)(xfy如果对于每个数Dx,(())0x)(0xf自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.xyDW约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.21xy例如，]1,1[:D211xy例如，)1,1(:D定义:.)(}),(),{(的图形函数称为点集xfyDxxfyyxCoxy),(yxxyWD如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．．例如，222ayx(1)符号函数010001sgnxxxxy当当当几个特殊的函数举例1-1xyoxxxsgn(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线x是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数(4)取最值函数)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg0,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.注：定义域例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.)0(tt解UtoE),2(E)0,(2,]2,0[时当ttEU2;2tE单三角脉冲信号的电压,],2(时当t),(200tEU)(2tEU即,),(时当t.0U其表达式为是一个分段函数,)(tUU),(,0],2(),(2]2,0[,2)(tttEttEtUUtoE),2(E)0,(2例2.)3(,212101)(的定义域求函数设xfxxxf解23121301)3(xxxf212101)(xxxf122231xx]1,3[:fD故三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX0x,)(,,0,成立有若MxfXxMDX1．函数的有界性:..)(否则称无界上有界在则称函数Xxf2．函数的单调性:,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI;)(上是单调增加的在区间则称函数Ixf),()()1(21xfxf恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf恒有3．函数的奇偶性:偶函数有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxfyx)(xf)(xfyox-x)(xf;)(为偶函数称xf有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxf;)(为奇函数称xf奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.2l2l23l23l,)(Dxf的定义域为设函数如果存在一)()(xflxf且为周则称)(xf,().xDxlD于任一.)(,的周期称为期函数xfl.恒成立个正数l使得对四、反函数0x0y0x0yxyDW)(xfy函数oxyDW)(yx反函数o)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.xy定理（反函数存在定理）：单调函数f必存在单调的反函数，且具有和f相同的单调性。例3,01)(QxQxxD设.))(().21(),57(的性质并讨论求xDDDD,0)21(D,1))((xDD解oxy1单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期)不是单调函数,五、小结基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数思考题设0x，函数值21)1(xxxf，求函数)0()(xxfy的解析表达式.思考题解答设ux1则2111uuuf,112uu故)0(.11)(2xxxxf一、填空题:1、若2251tttf,则__________)(tf,__________)1(2tf.2、若3,sin3,1)(xxxt,则)6(=_________，)3(=_________.3、不等式15x的区间表示法是_________.4、设2xy,要使),0(Ux时，)2,0(Uy,须__________.练习题二、证明xylg在),0(上的单调性.三、证明任一定义在区间)0(),(aaa上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.四、设)(xf是以2为周期的函数，且10,001,)(2xxxxf,试在),(上绘出)(xf的图形.五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数.六、证明函数acxbaxy的反函数是其本身.七、求xxxxeeeexf)(的反函数，并指出其定义域.一、1、225tt,222)1(2)1(5tt；2、1,1；3、(4,6)；4.]2,0(.七、)1,1(,11lnxxy.练习题答案