数学物理方程与特殊函数课件ppt3

0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1热传导、稳态场方程及其定解条件(一)、热传导方程第二章定解问题与偏微分方程理论本次课主要内容(二)、稳态场方程(三)、影响物理系统的其它条件0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n2本次课涉及的物理定律1、热传导定律定义热流密度：(,)ndQkuMtdSdt(,)ndQqkuMtdSdt0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n32、牛顿冷却定律0()Sqkuu单位时间内流过单位面积放出的热量为：3、比热公式QcmT吸0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n44、高斯定律(,,)SSSVDdSEdSxyzdV0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n5(一)、热传导方程截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求杆内温度的变化规律。(1)、细杆的热传导问题xx+dxLu(x,t)xn0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n6在dt时间内流入微元的热量为：1uudQkAdtkAdtnx在dt时间内放出微元的热量为：2(,)xudQkAdtkuxdxtAdtn在dt时间内微元吸收的净热量为：12[(,)(,)]xxdQdQdQkAdtuxdxtuxt0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n72txxuauxxtkAudxdtcAudxdt由比热公式：[(,)(,)]dQcmTcAdxuxtdtuxttcAudxdt由热量守恒定律得：一维齐次热传导方程0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n8设均匀且各向同性的导热体,置于温度比它高的热场中,求物体中温度u(x，y，z,t)所分布的规律。(2)、三维空间中的热传导问题导热体热场0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n9分析：(1)、[t1,t2]时间里流入导热体的热量Q1计算先要给出在[t1,t2]时间里流入导热体的热量，然后再给出在该时间中导热体温度升高所需要的热量。dSn流入dS的热量微元为：1udQkdSdtn0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n10211ttSuQkdSdtn在[t1,t2]时间里流入S的热量为：21(ttSuuukdydzdzdxdxdydtxyz21222222()ttVuuukdVdtxyz0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n11(2)、[t1,t2]里导热体升温需要的热量Q2计算导热体微元dV在dt时间升温需要的热量为：2(,,,)(,,,)dQcdVuxyztdtuxyzttcdVudt[t1,t2]里导热体升温需要的热量Q2为：212tttVQcudVdt0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n12由热量守恒定律：Q1=Q2于是得到：21tttVcudVdt21222222()ttVuuukdVdtxyztkucu2tuau三维齐次热传导方程0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n13如果导热体内部有热源，不难得到非齐次方程形式为：2(,)tuaufMt其中，f(M,t)被称为自由项。物质扩散与热传导现象相似。所以，热传导方程也称为扩散方程。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n14(二）、稳态场方程稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征是所研究的物理量不随时间而变化。1、稳定温度分布三维齐次热传导方程为：2tuau热传导达到稳定状态时有：0u称后一方程为稳态场中的拉普拉斯方程.0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n15由静电场的高斯公式：如果设：2、静电场中的电势分布规律SSVEdSdV,,EPQR可以得到：(1)E0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n16静电场是保守场，于是存在势函数u(x,y,z)满足：把(2)代入(1)得：,,(2)uuuEuxyz这就是静电场中电势满足的泊松方程uu2如果ρ=0，则泊松方程变为拉普拉斯方程。泊松方程与拉普拉斯方程称为稳态场方程。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n17设流体速度为：v(x,y,z),流体源强度：f(x,y,z),则：由于流体无旋流动，于是存在速度势φ3、流体的无旋稳定流动的速度势分布规律(,,)()vfxyzdivv使：v于是有：2(,,)fxyz这是泊松方程0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n181、波动方程：三类典型物理方程总结2(,)ttuaufMt2、热传导方程：2(,)tuaufMt3、稳态场方程(泊松方程)：2()uufM0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n191、不含初值条件带第一类边界条件：狄里赫列问题，简称狄氏问题；稳态场方程的定解条件问题2、边界条件带第二类边界条件：牛曼问题；带第一和第二类边界条件：洛平问题。稳态场方程求解将在第六章讨论！0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n20(三）、影响物理系统的其它条件1、衔接条件反映两种介质交界处物理状况的条件称为衔接条件。当物理系统涉及几种介质时，定解条件中就要包括衔接条件。例1、写出由两种不同材料等截面积杆连接成的杆的纵振动的衔接条件。连接处为x=x0分析：连接处面上点的位移相等，面上协强相等。x=x0Y1Y2xu1(x,t)u2(x,t)0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n21所以，衔接条件为：0000121212xxxxxxxxuuuuYYxx例2、讨论静电场中电介质表面的衔接条件。设ε1，ε2与u1,u2分别表示两种介质的介电常数与电势；ơf表示分界面S上电荷面密度。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n22(1)、在界面处，两种介质中的电势应相等12SSuu事实上：根据电场强度与电势梯度的关系有：duEdl于是，若假定E为p1p2上的平均电场强度(显然它有限)，则：2211()()upupEl两边对ΔL取极限得：12SSuu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n23(2)、在界面处，可以导出如下等式：事实上：根据有介质高斯公式就可以推出上式。1212SfuunnfSDdSQQf是面S内的总电荷有介质高斯公式为：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n24取一个包含ΔS的上下底平行的高为Δh的扁平盒：由于Δh可以很小，因此，通过侧面的电通量忽略！于是由高斯公式有：12()()ffDnSDnSQS而:DEu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n25所以：1212()Sfuunn说明：如果u1为导体的电势，u2是绝缘体电势，那么，因为导体是等势体，所以有：22Sfun2、周期性条件在极坐标、柱面坐标和球坐标系的经度坐标中，实际物理量常满足周期性条件，即：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n26(1)、在极坐标中：(,2,)(,,)urzurz(,2)(,)urur(2)、在柱坐标中：(,,2)(,,)urur(3)、在球坐标中：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n27例如，在静电场中，由电势的唯一性有：3、有界性条件lim0ru或有限数(,,2)(,,)urur在没有源处，物理量一般有界。常考虑物理量在坐标原点处有界。例如，在静电场中，电势在原点(无电荷）有界；在温度场中，中心温度有界等！4、无穷远条件或者在无穷远处u有渐进行为f(r,t)(已知函数）0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n28例3、半径为r0的球面，在0≦θπ/2的半球上电势为u0，在另一半球上为-u0,写出定解问题。分析：空间中的电势分布分球内(u1)与球外(u2),由于是静电场问题，所以泛定方程为稳态场方程。又空间中没有分布电荷，因此方程为拉普拉斯方程。θ0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n29所以：210lim0,rruu0100100()(0/2)(/2)rrurruuu其它条件：200()urr0012rrrruu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n30定解问题的简要总结对于一个具体物理问题，写出其定解问题，应该分如下三步进行：1、根据问题背景写出物理方程(泛定方程);2、如果有边界条件，要根据物理背景写出边界条件，即考虑描述物理量在边界上状况的三类边界条件和衔接条件。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n31除边界条件外，由于物理上合理性的需要，有时还需要对方程中的未知函数加以一些限制。这些限制包括：周期性限制;有界性限制；无穷远限制等。上面限制条件称为自然边界条件。3、初始条件如果物理问题涉及时间变量，则需写出初始条件。如果方程中对时间的导数为n阶，则需要n个初始条件表达式。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n32作业P26习题2.2第1，2，3，4；P30习题2.3第1，2，4。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n33ThankYou!