含参不等式恒成立问题的求解策略

含参不等式恒成立问题的求解策略一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2Rxacbxaxxf,有1）0)(xf对Rx恒成立00a;2）0)(xf对Rx恒成立.00a例1．已知函数])1(lg[22axaxy的定义域为R，求实数a的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22axax对Rx恒成立，即有04)1(22aa解得311aa或。所以实数a的取值范围为),31()1,(。若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。例2．设22)(2mxxxf，当),1[x时，mxf)(恒成立，求实数m的取值范围。解：设mmxxxF22)(2，则当),1[x时，0)(xF恒成立当120)2)(1(4mmm即时，0)(xF显然成立；当0时，如图，0)(xF恒成立的充要条件为：1220)1(0mF解得23m。综上可得实数m的取值范围为)1,3[。二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：()0fx恒成立min()0fx（注：若()fx的最小值不存在，则()0fx恒成立()fx的下界大于0）；()0fx恒成立max()0fx（注：若()fx的最大值不存在，则()0fx恒成立()fx的上界小于0）.例3．已知xxxxgaxxxf4042)(,287)(232，当]3,3[x时，)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围。解：设cxxxxgxfxF1232)()()(23，则由题可知0)(xF对任意]3,3[x恒成立令01266)(2'xxxF，得21xx或而,20)2(,7)1(aFaF,9)3(,45)3(aFaF∴045)(maxaxF∴45a即实数a的取值范围为),45[。例4．设函数321()(1)4243fxxaxaxa，其中常数1a若当0x时，()0fx恒成立，求a的取值范围。.s.5.u.c.o.m分析：利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出a的范围。解：（II）由（I）知，当0x时，)(xf在ax2或0x处取得最小值。aaaaaaaf2424)2)(1()2(31)2(23aaa2443423；af24)0(则由题意得.5.u.c.o.m,0)0(,0)2(1fafa即.024,0)6)(3(34,1aaaaa解得16a(1,6)a。例4〃．函数),1[,2)(2xxaxxxf，若对任意),1[x，0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解：若对任意),1[x，0)(xf恒成立，即对),1[x，02)(2xaxxxf恒成立，考虑到不等式的分母),1[x，只需022axx在),1[x时恒成立而得而抛物线axxxg2)(2在),1[x的最小值03)1()(minagxg得3a注：本题还可将)(xf变形为2)(xaxxf，讨论其单调性从而求出)(xf最小值。三、分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：利用分离参数法来确定不等式,0fx,（Dx,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:（1）将参数与变量分离，即化为gfx（或gfx）恒成立的形式；（2）求fx在xD上的最大（或最小）值；（3）解不等式max()gfx(或mingfx)，得的取值范围。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。例5．已知函数]4,0(,4)(2xxxaxxf时0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。如果4,4x呢？解：将问题转化为xxxa24对]4,0(x恒成立。令xxxxg24)(，则min)(xga由144)(2xxxxxg可知)(xg在]4,0(上为减函数，Oxyx-1x-2-4yO-4故0)4()(mingxg∴0a即a的取值范围为)0,(。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。例6已知函数321()33fxaxbxx,其中0a,且)(xf在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.分析：此题虽有三个变量x、a、b，而x的范围已知，最终要用a表示出b的取值范围，所以可以将a看成一个已知数，对x和b进行离参。解析：)(xf在区间(0,1]上单调递增2'()210fxaxbx在(0,1]上恒成立1,(0,1]22axbxx恒成立max1()22axbx，(0,1]x设1()22axgxx，2221()1'()222axaagxxx，令'()0gx得1xa或1xa(舍去)，当1a时,101a，当1(0,)xa时'()0gx，1()22axgxx单调增函数；当1(,1]xa时'()0gx，1()22axgxx单调减函数,max()gx1()gaa。ba。当01a时，11a，此时'()0gx在区间(0,1]恒成立，所以1()22axgxx在区间(0,1]上单调递增，max()gx1(1)2ag，12ab。综上，当1a时,ba；当01a时，12ab。四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例7．对任意]1,1[a，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2xxax在]1,1[a上恒成立的问题。解：令44)2()(2xxaxaf，则原问题转化为0)(af恒成立（]1,1[a）。当2x时，可得0)(af，不合题意。当2x时，应有0)1(0)1(ff解之得31xx或。故x的取值范围为),3()1,(。注：一般地，一次函数)0()(kbkxxf在],[上恒有0)(xf的充要条件为0)(0)(ff。例8已知函数322()9cos48cos18sinfxxxx，()()gxfx，且对任意的实数t均有(1cos)0gt，(3sin)0gt.(Ⅰ)求函数()fx的解析式；(Ⅱ)若对任意的[26,6]m，恒有2()11fxxmx，求x的取值范围.解析：(Ⅰ)2()()318cos48cosgxfxxx，,01cos2,tRt23sin4t，而(1cos)0gt，(3sin)0gt恒成立.则由二次函数性质得(2)0(4)0gg，解得cos1，1cos2，sin032()924fxxxx。（Ⅱ）22()11924110fxxmxmxxx.令2()92411hmmxxx，则2()11fxxmx即()0hm.由于[26,6]m，则有22(26)26924110(6)6924110hxxxhxxx.解得113x.所以x的取值范围为1[,1]3。五、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象上方；2）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象下上方。例9．设xxxf4)(2,axxg134)(,若恒有)()(xgxf成立,求实数a的取值范围.分析：在同一直角坐标系中作出)(xf及)(xg的图象如图所示，)(xf的图象是半圆)0(4)2(22yyx)(xg的图象是平行的直线系03334ayx。要使)()(xgxf恒成立，则圆心)0,2(到直线03334ayx的距离满足25338ad解得355aa或（舍去)由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。训练1：已知函数12)(2axxxf，xaxg)(，其中0a，0x．1）对任意]2,1[x，都有)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21xx，都有)()(21xgxf恒成立，求实数a的取值范围；【分析：】1）思路、等价转化为函数0)()(xgxf恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．2）思路、对在不同区间内的两个函数)(xf和)(xg分别求最值，即只需满足)()(maxminxgxf即可．简解：（1）由12012232xxxaxaaxx成立，只需满足12)(23xxxx的最小值大于a即可．对12)(23xxxx求导，0)12(12)(2224xxxx，故)(x在]2,1[x是增函数，32)1()(minx，所以a的取值范围是320a．2．已知函数f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3.(1)设a＝1，求函数f(x)的极值；(2)若a14，且当x∈[1,4a]时，|f′(x)|≤12a恒成立，试确定a的取值范围．解(1)当a＝1时，对函数f(x)求导数，得f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.列表讨论f(x)、f′(x)的变化情况：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值6极小值－26所以f(x)的极大值是f(－1)＝6，极小值是f(3)＝－26.(2)f′(x)＝3x2－6ax－9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于直线x＝a对称．若14a≤1，则f′(x)在[1,4a]上是增函数，从而f′(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)＝3－6a－9a2，最大值是f′(4a)＝15a2.由|f′(x)|≤12a，得－12a≤3x2－6ax－9a2≤12a，于是有f′(1)＝3－6a－9a2≥－12a，且f′(4a)＝15a2≤12a.由f′(1)≥－12a，得－13≤a≤1；由f′(4a)≤12a，得0≤a≤45.所以a∈14，1∩－13，1∩0，45，即a∈14，45.若a1，则|f′(a)|＝12a212a，故当x∈[1,4a]时|f′(x)|≤12a不恒成立．所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围是14，45.3．(2011·湖北)设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)m(x－1)恒成立，求实数m的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′