用灰色模型进行数学建模

数学建模中的灰色方法在数学建模的过程中，常常遇到一些诸如：人口模型、全国的物资调运、运输、生产销售等问题，其中有许多信息都无法确定，要建立这样的模型很困难。现有的系统分析方法—量化分析方法，大都是数理统计方法但这种方法多用于少因素的、线性的情形。对于多因素的、非线性的则难以处理。针对这些不足，邓聚龙教授创立了一种就数找数的方法，即灰色系统生成法。创立灰色系统的学科体系和灰色系统“概念与公理体系”，提出灰生成空间、灰关联空间理论、灰建模理论并创立灰预测理论及方法体系。一、灰色系统.定义：系统作为一个包含若干相互关联、相互制约的任意种类元素组成的具有某种特定功能的整体。系统内部存在有物质流、信息流、能量流。系统（根据信息明确程度）黑色系统（信息毫无所知或知之甚少）灰色系统（既含有已知信息又有未知信息）白色系统（信息完全明确）（一）灰色系统公理：1.信息不完全、不确定的解是非唯一的；（解的非唯一性原理）2.信息是认识的根据；（认识根据原理）3.灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最小信息”；（最小信息原理）4.新信息对认识的作用大于老信息；（新信息优先原理）（二）灰色系统的描述：灰色系统用灰色参数、灰色方程、灰色矩阵、灰色度等综合描述，其中灰数是灰色系统的基本单元。1.灰色参数（灰数）灰数是那些只知道大概范围而不知其确切值的数（只知道部分数学特征，而不知道具体数值的参数）。例如：“某人的身高约为170cm、体重大致为60kg”，这里的“（约为）170（cm）”、“60”都是灰数，分别记为、。又如，“那女孩身高在157－160cm之间”，则关于身高的灰数。记为灰数的白化默认数，简称白化数。在灰色系统理论中，把随机变量看成灰数，即是在指定范围内变化的所有白色数的全体。如代购一件价格为100元左右的衣服，100可作为预购衣服价格的白化值。灰数有离散灰数（属于离散集）和连续灰数（属于某一区间）。]160,157[)(h17060~~~2.灰色代数方程—含有灰色系数的代数方程如：灰色微分方程为含有灰色导数或灰色微分的方程，如3.灰色矩阵—行列数确知而含有灰元的矩阵若在A的m*n个元素中，有N个灰色元素，则可以用d表示这一矩阵的灰色度03x0322xx)()(tbxadttdxnmNd二、灰色生成数列灰色系统理论认为，尽管客观表象复杂，但总是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。关键在于如何选择适当的方式去挖掘和利用它。灰色系统是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据寻求数据的现实规律的途径，即为灰色序列的生成。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。数据生成的常用方式有累加生成、累减生成和加权累加生成。（1）累加生成把数列各项（时刻）数据依次累加的过程称为累加生成过程（AGO）。由累加生成过程所得的数列称为累加生成数列。设原始数列为，令称所得到的新数列为数列的1次累加生成数列。类似地有称为的r次累加生成数列。))(,),2(),1(()0()0()0()0(nxxxx,,,2,1,)()(1)0()1(nkixkxki))(,),2(),1(()1()1()1()1(nxxxx)0(x1,,,2,1,)()(1)1()(rnkixkxkirr)0(x（2）累减生成对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的运算过程称为累减生成过程IAGO。如果原始数据列为令称所得到的数列为的1次累减生成数列。注：从这里的记号也可以看到，从原始数列，得到新数列，再通过累减生成可以还原出原始数列。实际运用中在数列的基础上预测出，通过累减生成得到预测数列。))(,),2(),1(()1()1()1()1(nxxxx,,,3,2),1()()()1()1()0(nkkxkxkx)0(x)1(x)0(x)1(x)1(x)1(ˆx)0(ˆx（3）加权邻值生成设原始数列为称为数列的邻值。为后邻值，为前邻值，对于常数，令由此得到的数列称为数列在权下的邻值生成数，权也称为生成系数。特别地，当生成系数时，则称为均值生成数，也称等权邻值生成数。))(,),2(),1(()0()0()0()0(nxxxx)(),1()0()0(kxkx)0(x)1()0(kx)()0(kx]1,0[,,,3,2),1()1()()()0()0()0(nkkxkxkz)0(z)0(x5.0,,,3,2),1(5.0)(5.0)()0()0()0(nkkxkxkz灰色系统理论的主要方法•关联度分析法—最基本的方法（一个由众多因素构成的系统中哪些因素对系统的影响大/中/小？）•基于白化权函数的灰色统计和灰色聚类法。•灰色预测法（如GM（1，1））。•灰色决策。•灰色优化技术（如灰色规划等）。三、灰色预测模型GM(m,n)•灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进而利用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，称为灰色模型（GM）。•灰色预测是应用灰色模型GM对灰色系统进行分析、建模、求解、预测的过程。由于灰色建模理论应用数据生成手段，弱化了系统的随机性，使紊乱的原始序列呈现某种规律，规律不明显的变得较为明显，建模后还能进行残差辨识，即使较少的历史数据，任意随机分布，也能得到较高的预测精度。因此，灰色预测在社会经济、管理决策、农业规划、气象生态等各个部门和行业都得到了广泛的应用(一)GM（1，1）模型•设为原始数列，其1次累加生成数列为，其中•定义的灰导数为令为数列的邻值生成数列，即于是定义GM（1，1）的灰微分方程模型为))(,),2(),1(()0()0()0()0(nxxxx))(,),2(),1(()1()1()1()1(nxxxx,,,2,1,)()(1)0()1(nkixkxki)1(x).1()()()()1()1()0(kxkxkxkd))(,),3(),2(()1()1()1()1(nxxxz)1(x),1()1()()()1()1()1(kxkxkz,)()()1(bkazkd即或（1）在式（1）中，称为灰导数，a称为发展系数，称为白化背景值，b称为灰作用量。将时刻表代入（1）式有引入矩阵向量记号：数据向量参数向量数据矩阵,)()()1()0(bkazkx)()0(kx)()1(kznk,,3,2,)()(,)3()3(,)2()2()1()0()1()0()1()0(bnaznxbazxbazx)()3()2()0()0()0(nxxxYbau1)(1)3(1)2()1()1()1(nzzzB于是GM（1，1）模型可表示为现在问题归结为求a,b在值。用一元线性回归，即最小二乘法求它们的估计值为注：实际上回归分析中求估计值是用软件计算的，有标准程序求解，如matlab等。GM（1，1）的白化型对于GM（1，1）的灰微分方程（1），如果将灰导数的时刻视为连续变量t，则视为时间t函数，于是对应于导数量级，白化背景值对应于导数。于是GM（1，1）的灰微分方程对应于的白微分方程为（2）.uYB.)(ˆˆˆ1YBBBbauTT)()0(kxnk,,3,2)1(x)()1(tx)()0(kxdttdx)()1()()1(kz)()1(tx,)()()1()1(btaxdttdx（二）GM（1，1）灰色预测的步骤1.数据的检验与处理为了保证GM（1，1）建模方法的可行性，需要对已知数据做必要的检验处理。设原始数据列为了，计算数列的级比如果所有的级比都落在可容覆盖区间内，则数据列可以建立GM（1，1）模型且可以进行灰色预测。否则，对数据做适当的变换处理，如平移变换：取C使得数据列的级比都落在可容覆盖内。))(,),2(),1(()0()0()0()0(nxxxx.,,3,2,)()1()()0()0(nkkxkxk),(1212nneeX)0(x,,,2,1,)()()0()0(nkckxky2.建立GM（1，1）模型不妨设满足上面的要求，以它为数据列建立GM（1，1）模型用回归分析求得a,b的估计值，于是相应的白化模型为解为（4）于是得到预测值从而相应地得到预测值：))(,),2(),1(()0()0()0()0(nxxxx,)()()1()0(bkazkx,)()()1()1(btaxdttdx.))1(()()1()0()1(abeabxtxta,1,,2,1,))1(()1(ˆ)0()1(nkabeabxkxak,1,,2,1),(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0(nkkxkxkx3.检验预测值（1）残差检验：计算相对残差如果对所有的，则认为达到较高的要求：否则，若对所有的，则认为达到一般要求。（2）级比偏差值检验：计算如果对所有的，则认为达到较高的要求；否则若对所有的，则认为达到一般要求。,,,2,1,)()(ˆ)()()0()0()0(nkkxkxkxk1.0|)(|k2.0|)(|k),(5.015.011)(kaak1.0|)(|k2.0|)(|k四、应用举例SARS疫情对某些经济指标的影响问题1.问题的提出2003年的SARS疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定的影响，特别是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是明显的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响，直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务业等。很多方面难以进行定量地评估，现仅就SARS疫情较严重的某市商品零售业、旅游业、综合服务业的影响进行定量的评估分析。究竟SARS疫情对商品零售业、旅游业、综合服务业的影响有多大,已知某市从1997年1月到2003年12月的商品零售额、接待旅游人数、综合服务收入的统计数据如图:2.模型分析•根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的总和（或平均值）较好地反映了相关指标的变化规律。从而我们把预测分成两部分：利用灰色理论建立GM(1,1)模型，由1997－2002年的各年度总和值预测2003年的年度总和值；再通过历史数据计算每个月的指标值与全年总和的关系，就可以预测出2003年每个月的指标值。•假设：(1)假设所给的统计数据可靠、准确的；(2)假设该市在SARS疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与SARS疫情的影响有关，不考虑其他随即因素的影响。3.建立灰色预测模型GM(1,1)由已知数据，对于1997－2002年某项指标记为矩阵计算每年的总和，记为检验比（都符合要求）。对作一次累加得数列，再作的邻值加权平均，得数列，即为确定参数，得到GM(1,1)的白化微分方程模型为其中参数由灰微分方程确定。126)(ijaA))6(,),2(),1(()0()0()0()0(xxxx)3307.1,7515.0(),()6,,3,2()()1()(1212)0()0(nneekkxkxk)0(x)1(x)1(x),,,()6()2()1()1(zzzz),1()1()()()1()1()1(kxkxkz,)()()1()1(btaxdttdx6,,3,2,)()()1()0(kbkazkx根据系数可求得白化微分方程的解：故相应地可以求出即得到2003年的年度总和值。再根据历史数据，统计出第个月的指标值占全年总和值的比例，即于是2003年的每个月的指标值(预测值)为.))1(()()1()0()1(abeabxtxta).)()1(())(ˆ)1(ˆ()1()1()0()1()1()0(kaakeeabxkxkxkx)7()0(xjjv.12,2,1,)(61)