18-19-第1章-1.2-1.2.2-第1课时-组合与组合数公式

1/81.2.2组合第1课时组合与组合数公式学习目标：1.理解组合与组合数的概念．(重点)2.会推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点)3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点)[自主预习·探新知]1．组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．思考：怎样理解组合，它与排列有何区别？[提示](1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．2．组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．思考：如何理解组合与组合数这两个概念？[提示]同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.3．组合数公式及其性质2/8(1)公式：Cmn＝AmnAmm＝n！m！n－m！.(2)性质：Cmn＝Cn－mn_，Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1.(3)规定：C0n＝1.[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.()(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．()(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．()(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题．()[解析](1)√因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．(2)√由组合数的定义可知正确．(3)×因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．(4)√因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．(5)×因为将4枚纪念币送与4人并无顺序，故该问题是组合问题．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√(5)×2．若C2n＝28，则n＝()【导学号：95032046】A．9B．8C．7D．6B[C2n＝n×n－12＝28，解得n＝8.]3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．3/83[甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C23＝3×22＝3.]4．C26＝________，C1718＝________.【导学号：95032047】1518[C26＝6×52＝15，C1718＝C118＝18.][合作探究·攻重难]组合的概念(1)判断下列问题是组合问题还是排列问题：①设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？③2018年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？(2)已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合.【导学号：95032048】[思路点拨]要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．[解](1)①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．②因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.[规律方法]4/81．区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，而无顺序就是组合问题．而要判定它是否有顺序的方法是：先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．2．写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来，如本题的作法，这样做直观、明了、清楚，以防重复和遗漏．[跟踪训练]1．(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题：①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？②从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？(2)已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．[解](1)①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．②是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．③是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．(2)可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.组合数公式的应用(1)计算C410－C37·A33；(2)计算C5－nn＋C9－nn＋1.【导学号：95032049】[思路探究]解答此类问题要恰当选择组合数公式，并注意使用组合数公式的隐含条件．5/8[解](1)原式＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×53×2×1·(3×2×1)＝210－210＝0.当n＝4时，原式＝C14＋C55＝5，当n＝5时，原式＝C05＋C46＝16.[规律方法]1．在具体选择公式时，要根据原题的特点，一般地，公式Cmn＝AmnAmm常用于n为具体数的数目，偏向于组合数的计算，公式Cmn＝n！n－m！m！常用于n为字母的题目，偏向于解不等式或证明恒等式．2．解题时，一定不要忘记组合数的意义．[跟踪训练]2．求值：C17－n2n＋C3n13＋n.[解]由组合数的公式的性质，解得n＝6.所以，原式＝C1112＋C1819＝C112＋C119＝12＋19＝31.组合数的性质应用[探究问题]1．试用两种方法求：从a，b，c，d，e5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？[提示]法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，6/8共C35＝5×4×33×2×1＝10(种)选法．法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C25＝5×42＝10(种)不同选法．经求解发现C35＝C25.推广到一般结论有Cmn＝Cn－mn.2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？[提示]共有C610＝10×9×8×7×6×56×5×4×3×2×1＝210(种)选法．3．在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？[提示]若队长必须参加，共C59＝126(种)选法．若队长不能参加，共C69＝84(种)选法．由探究2、3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C610＝C59＋C69.一般地：Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.(1)计算：C9799＋C9899＋C99100＝________；(2)若C4nC6n，则n的取值集合是________.【导学号：95032050】[思路探究]恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．(1)5050(2){6,7,8,9}[(1)C9799＋C9899＋C99100＝C98100＋C99100＝C99101＝C2101＝101×1002×1＝5050.(2)由C4nC6n，得n！4！n－4！n！6！n－6！，所以n2－9n－100，得－1n10，因为n∈N*且n≥6，所以n＝6,7,8,9，所以n的取值集合为{6,7,8,9}．][规律方法]1．性质“Cmn＝Cn－mn”的意义及作用7/82．连续使用“Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1”时，一定要掌握住该性质两边的上、下标字母的特征，并注意观察分析待化简的组合式的特征．3．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Cmn中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．[跟踪训练]3．(1)化简：C9m－C9m＋1＋C8m＝________；(2)已知C7n＋1－C7n＝C8n，求n的值．(1)0[原式＝(C9m＋C8m)－C9m＋1＝C9m＋1－C9m＋1＝0.](2)[解]根据题意，C7n＋1－C7n＝C8n，变形可得C7n＋1＝C8n＋C7n，由组合数的性质，可得C7n＋1＝C8n＋1，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.[当堂达标·固双基]1．下列问题：①将图案不同的4张扑克牌分给两人，每人2张，有几种方法？②将图案不同的4张扑克牌分给四人，每人1张，有几种分法？③空间中的10个点，任意3个点都不共线，能构成多少个以这些点为顶点的三角形？其中，包含组合问题的有()A．0个B．1个C．2个D．3个C[由组合的定义可知①③两个命题与顺序无关，是组合问题．]2．下列计算结果为21的是()8/8A．A24＋C26B．C37C．A27D．C27D[C27＝7×62×1＝21.]3．下列等式不正确的是()【导学号：95032051】A．Cmn＝n！m！n－m！B．Cmn＝Cn－mnC．Cmn＝m＋1n＋1Cm＋1n＋1D．Cmn＝Cm＋1n＋1D[由组合数公式逐一验证知D不正确．]4．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次．15[每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C26＝15次．]5．已知C4n，C5n，C6n成等差数列，求C12n的值.【导学号：95032052】[解]由已知得2C5n＝C4n＋C6n，所以2·n！5！n－5！＝n！4！n－4！＋n！6！n－6！，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求C12n的值，故n≥12，所以n＝14，于是C1214＝C214＝14×132×1＝91.