中考复习专题：最短路径问题

2017年中考复习专题：澄江六中陈家荣2017年6月中考题中出现最短路径问题，往往都涉及具体的计算和求值，需要结合勾股定理、平面直角坐标系、函数与方程知识，从而得出定量的结果。解决这类问题的关键，首先要牢固掌握基础知识、基本思想方法和基本问题模型，熟悉最短路径问题的常考题型。中考导航【教学知识点】：1、两点之间，线段最短；2、垂线段最短（构建“对称模型”实现转化）；3、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。【能力要求】：1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.【情感要求】：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学教学目标教学过程一、基础知识1、两点之间，线段最短问题1：如图1，定点A,B之间有4条路径L1、L2、L3、L4，问哪条路径最短？为什么？L4L3L2L1理由：显然，L3最短。因为，两点之间，线段最短（公理）。问题2：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，为什么？理由：“三角形两边之和大于第三边”事实上就是“两点之间，线段最短”这一公理的直接应用。在“三角形两边之和大于第三边”的不等式两端同时减去一边，可得到“三角形两边之差小于第三边”。2、点到线的最短路径问题问题1：如图2，P点到线段AB有三条路径L1、L2、L3，问哪条路径最短？为什么？BAPL3L2L1理由：显然，L2最短。因为，垂线段最短（公理）二、基本思想方法：化归（一）、平面问题中的最短路径问题常用轴对称、平移、旋转（包括中心对称）等保距变换，化折为直，化曲为直加以解决。（二）、立体问题平面化1、多面体表面上两点间的最短路径问题，将其转化为平面内两点间的最短路径问题加以解决。2、旋转体表面上两点间的最短路径问题，常将旋转体表面展开成平面图形，用平面内两点间的最短路径问题加以解决。三、基本问题模型1、抽水站选址问题:（1）、两点在直线异侧（原理：两点之间，线段最短）例1、如图3：点A,B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。ABLLPBA解：连接AB交直线L于点P,点P为所求点。此时，PA+PB的最小值是AB线段的长。理由：“两点之间，线段最短”。（2）、两点在直线同侧（原理：线段最短+1次轴对称）练习1、如图4：A、B在直线L同侧，在L上求一点P，使PA+PB最小。B/ABL图4图4LPBA解：作点B关于直线L的对称点B'，连接AB'交直线L于P点，P点即为所求点。理由：∵B、B'关于直线L对称，有PB=PB'∴PA+PB=PA+PB′=AB′(线段最短）∴PA+PB最小。（两点之间，线段最短）2、造桥修路问题（1）、两点之间，线段最短+平移例2、如图5，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸m∥n，现在要建设一座与河岸垂直的桥MN，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最短？nmnmABMNA/图5图5BA解：将A点向下平移至A′，使AA′=河宽，连接A′B交直线n于N,过N作NM┴直线m于M,连AM，线段MN即为所架桥的位置。理由：“两点之间，线段最短”。AM+MN+NB的值最小，最小值为A'B+MN.（2）、平移+轴对称练习2、如图，在直线L上求两点M、N，使MN=a，且使AM+MN+NB的值最小。aBAlaA//A/NMlABM、N即为所求点，此时AM+MN+NB最短。理由：由作图知AM=A′N=A″N,AM+MN+NB=A″B+MN最小（两点之间，线段最短）ABCDD345BA345DCBA3、立体图形中的最短路径问题：例3、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。L1=52+72=74L2=82+42=80理由：所以，蚂蚁爬行的最短路径是7474练习3、有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π的值取3)。解：将圆柱的侧面展开如右图，可知蚂蚁爬行的最短路径是线段AB。∵BB'=圆柱高=12cm，AB'=底面周长的一半=3π。∴∴AB≈15答：蚂蚁爬行的最短路程约为15厘米。AB=122+(3x3)2144+8122515四、中考题型训练NMDCBA1、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为。解：DN+MN=BM,DM=2，则CM=6在RT△BCM中，BM=82+62=100=10所以，DN+MN的最小值是10102、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长的最小值为________。解：∵P、C关于直线OA对称，P、D关于直线OB对称∴CM=PM,DN=PN∴△PMN周长=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=18cm∴△PMN周长的最小值是18cm（两点之间，线段最短）18cm3、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长为__________。4、如图，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）、由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：（2）、结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为；•B′解：∵DE垂直平分AB∴BE=AE△AEC的周长=AE+CE+AC=BE+CE+AC=BC+AC=8+5=1313•C′(5,-2)(3,5)(b,a)运用与拓广（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标。解：作点E关于直线L的对称点E′,连接E′D交直线L于点Q,点Q即为所求点。•E′•Q此时，QD+QE=E′D(两点之间，线段最短）点Q的坐标为（-2，-2)5、如图，抛物线的对称轴是直线X=-1且经过A（1,0）和C（0,3）两点，与x轴的另一个交点为B。（1）、在对称轴x=-1上找一点N，使点N到点A、C的距离之和最小，求点N的坐标，并求出NA+NC的最小值。y=ax2+bx+c(a0)解：抛物线的对称轴是直线X=-1，A(1，0)知B(-3，0),A、B关于直线X=-1对称，连接BC交对称轴于N,点N即为所求点。•N连接AN,NA+NC=BC最短。设BC解析式为y=kx+b过B、C-3k+b=0b=3-3k+b=0b=3-3k+b=0解得k=1，b=3所以，BC解析式为y=x+3当x=-1时，y=2，所以，N点坐标为（-1,2）BC=32+32=32∴NA+NC的最小值是32∴NA+NC的最小值是32五、课时小结这节课我们利用“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”、“勾股定理和它的逆定理”解决了生活中的几个最短路径问题。更重要的是通过平移、旋转、轴对称等图形变换把实际问题抽象成数学模型，用数学建模思想提高解决实际问题的能力。六、课后作业：完成中考训练题4、5两题。