数学物理方法

0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1Email:[e-mail]数理方程与特殊函数任课教师：杨春数学科学学院0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n2数学物理方程总复习本次课主要内容一、偏微分方程理论与分离变量法二、行波法与积分变换法0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n31、定解问题的建立2、方程的化简4、δ函数(一)、偏微分方程理论一、偏微分方程理论与分离变量法3、二阶线性偏微分方程理论0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n41、定解问题的建立写出定解问题，需要建立偏微分方程、写出边界条件(包括衔接条件，自然条件）和初始条件。建立偏微分方程的主要方法是微元法(1).明确物理过程与研究对象(待研究物理量);(2).进行微元分析；分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n5如何写出三类边界条件？(1)、明确环境影响通过的所有边界；(2)、分析边界所处的物理状况；(3)、利用物理规律写出表达边界状况的表达式。(3).化简、整理算式。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n6例1一根半径为r,密度为ρ，比热为c，热传导系数为k的匀质杆。如果同截面上的温度相同，其侧面与温度为u1的介质发生热交换，且热交换系数为k1.求杆上温度满足的方程解：物理量为杆上温度u(x,t),取微元[x,x+dx]x+dxxx在dt时间里，微元段获得的热量为：(,)(,)xxkuxdxtSuxtSdt0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n7该热量一部分Q1用于微元段升温，另一部分Q2从侧面流出1tQcSdxudt211()2Qkuurdxdt所以，微元段满足的方程为：(,)(,)xxkuxdxtSuxtSdt11()2tcSdxudtkuurdxdt112()xxtkkuuuuccr所以，方程为：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n8(1)、写出特征方程：(2)、计算211122220dydyaaadxdx2121122aaa(3)、作变换(a)、012(,)(,)xyxy2、方程的化简0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n9(b)、012(,)(,)xyxy12(,)(,)xyxyic0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n10(c)、0(,)()xyxy或(,)xyc0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n11(4)、求出变换方程：1112111221222122TaaaaQQaaaa12,,,bLcbLcccff其中：xyxyQ0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n12二阶线性方程分类：2121122aaa0(1)双曲型0抛物型0椭圆型(2)(3)说明：分类也指点的邻域内的分类！0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n13例2化下面方程为标准型4520xxxyyyxyuuuuu2dyidx解：212112210aaa方程属于椭圆型2yxx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n142110xyxyQ所以1112111221222122TaaaaQQaaaa2112211025100.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n15100110bLc21,0bLccf0uuu可得标准型：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n163、二阶线性偏微分方程理论(1).线性算子T为算子，若T(c1u1+c2u2)=c1Tu1+c2Tu2，称T为线性算子(2).二阶线性偏微分算子cybxbyayxaxaL212222212221120.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n17于是二阶线性偏微分方程fcuububuauauayxyyxyxx212212112可以简记为：fLu齐次形式为：0Lu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n18原理1：(1)iiLufin11nniiiiiiLcucf意义：欲求叠加原理Luf的解，如果1niiifcf且求出(1)iLufin的解为：(1)iuin则1niiicu为方程Luf的解0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n19(1,2,)iiLufi11iiiiiiLcucf说明：原理2是原理1的有条件推广。条件是算子L与和号能交换次序。叠加原理原理2：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n20其中，M表示自变量组，M0为参数组.0,MMfLu设u(M,M0)满足线性方程(线性定解条件)叠加原理原理3：且积分00(),vUMuMMdM收敛，并满足L中出现的偏导数与积分号交换次序所需要的条件，那么U(M)满足方程(或定解条件）0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n2100(),vLUMfMMdM叠加原理说明：原理3可以理解为：若0,MMfLu那么：00(),vLUMfMMdM00(),vUMuMMdM0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n22叠加原理定理：非齐次线性方程的一般解等于对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。例3求泊松方程：的一般解。2221212uxy解:(1)先求出方程的一个特解u1由方程的形式可令u1=ax4+by4,代入方程可得：441uxy0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n23(2)、求对应齐次方程通解xiy对应齐次方程为：20u作变换：则齐次方程化为：0uu再作变换：ab0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n24方程化为：ufxiygxiy0abu齐次方程通解为：原方程通解为：44()ufxiygxiyxy0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n25齐次化原理1齐次化原理232,(,)0,,ttLMRttfMt0,0)0,(,,00322tttuutRMMtfLutu..0,;tuWtMd如果(,;)WMt满足方程：那么非齐次柯西问题的解为：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n26齐次化原理20)0,(,,03tutRMMtfLutu,,,,,3MftRMLtt..0,;tuWtMd如果(,;)WMt满足方程：那么非齐次柯西问题的解为：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n27例4、若V(x,t,τ)是定解问题2000,0,0.txxxxLthuauucuuu..0(,),;tuxtVxtd是定解问题的解，则：22000,0,0.txxxxLthIRuauuccuuu的解0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n282..0(,,)ttuVIRdVxtttc证明：首先，00tu其次，因V(x,t,τ)是齐次定解问题的解，因此，不难证明00,0,xxLuu2220()ttxxxxhVhIRuauuaVVdctcc2IRc0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n29解的适定性满足解的存在性、唯一性和稳定性的解称为解的适定性。解的稳定性是指若定解条件有微小变化，其解也只有微小变化只有解满足稳定性，其解才有意义，因定解条件常为实验数据，有测量误差。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n30(1)、定义δ函数是指满足下面两个条件的函数4、δ函数0000,(1).(),xxxxxx0001,(,)(2).()0,(,)baxabxxdxxab几点说明：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n31(a)、几何意义曲线峰无限高，无限窄！但曲线下面积为1。(b)、物理意义x0xδ(x-x0)定义中条件(1)反映物理量集中在x0处，该处称为点源；条件(2)反映物理量有限。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n32例5、两端固定的长为L的弦，密度为ρ，初始时刻在x0处受到冲量I的作用。求初速度和定解问题。解:(1)x0u(x,t)xL0000,0,ttxxuxx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n33(2)由动量定理FΔt=Δmv得：0LtIudx所以有：0000(),0,ttIxxxxuxx定解问题为：20000000,0(),0,0,ttxxxxLtttuauuuIxxxxuuxx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n34(2)、性质(a)筛选性质：对任意连续函数φ(x),有：00()()()xxxdxx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n35所以，0xx证明：由于(b)δ函数是偶函数,即：()()xx有0()0xx00()()()xxxdxx证明：由于对任意连续函数φ(x),有()()(0)()()xxdxxxdx所以，()()xx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n36δ函数的导数定义：设定义的算符δ(n)称为δ(x)的n阶导数。1()fxC由()()()()(1)(0)nnnxfxdxf0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n37例6、求证：01()4MMr其中证明：当M不等于M0时，直接计算可得：03,MMR222000()()()rxxyyzz104r0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n38另一方面：11()144KSdVdS