初二数学《分式》教案

-1-第16章分式§16.1.1分式的概念教学目标：1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。教学重点：探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。教学难点：能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。教学过程：一、做一做（1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米；（2）面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为________米；（3）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是___元；二、概括：形如BA(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.整式和分式统称有理式,即有理式整式，分式.三、例题：例1下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）x1；（2）2x；（3）yxxy2；（4）33yx.解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）.注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式aS中，a≠0；在分式nm9中，m≠n.例2当x取什么值时，下列分式有意义？（1）11－x；（2）322xx.分析要使分式有意义，必须且只须分母不等于零.解（1）分母1－x≠0，即x≠1.所以，当x≠1时，分式11－x有意义.-2-（2）分母23x≠0，即x≠-23.所以，当x≠-23时，分式322xx有意义.四、练习：填空：（1）当x时，分式有意义。（2）当x时，分式有意义。（3）当b____时，分式有意义。（4）当x、y满足关系时，分式有意义。解：（1）当分母3x≠0时，x≠0时，分式有意义。（2）当分母x-1≠0时，x≠1时，分式有意义。（3)当分母5-3b≠0时，b≠时，分式有意义。(4)当分母x-y≠0时，x≠y时，分式有意义。五、小结：什么是分式？什么是有理式？§16.1.2分式的基本性质教学目标：1、掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分，并了解最简分式的意义。2、使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤。教学重点：让学生知道约分、通分的依据和作用，学会分式约分与通分的方法。教学难点：1、分子、分母是多项式的分式约分；2、几个分式最简公分母的确定。教学过程：1、分式的基本性质引言：我们小学学习了分数的基本性质，今天我们学习分式的基本性质。新课：根据分数的基本性质，分式可仿照分数的性质＝；=（C≠0）。请同学们根据上面的式子和以前学过的分数的基本性质，总结出分式的基本性质是-3-什么？学生回答出来，教师及学生补充完整。分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。＝；=（C≠0）注意：分式的基本性质的条件是乘（除以）一个不等于0的整式。指出分式的性质与分数的性质的不同，乘以（除以）一个不等于0的整式。分数是乘以（除以）一个不等于0的数。例1填空：（1）=；=。(2)=；=。分析：引导学生根据分式的基本性质，来对分式进行化简。（1）是乘以一个整式ab,注意是分子和分母都乘以这个整式。（2）是分子和分母都乘以b,分式的值不变。（3）是分子x2+xy=x(x+y),对照分子，可以看出分子和分母都除以x,分式的值不变，所以X。（4）把分母分解因式x2-2x=x(x-2),对照分母，可以看出分子、分母都除以x，分式的值不变，所以填1。2、与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分.例3约分（1）4322016xyyx；（2）44422xxx分析分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找出分子与分母的公因式.解（1）4322016xyyx＝－yxyxxy544433＝－yx54.（2）44422xxx＝2)2()2)(2(xxx＝22xx.约分后，分子与分母不再有公因式.分子与分母没有公因式称为最简分式．．．．.练习：（1）;(2)分析：（1）-25a2bc3与15ab2c的公因式为5abc，与因式分解的公因式的确定一样。（2）分子x2-9=(x+3)(x-3);分母x2+6x+9=(x+3)2,这样分子与分母的公因式就确定了，可以进行约分了。由例题知约分最关键的是把公因式约去，所以公因式的确定是主要的，多项式则先分解因式，然后约分。解：略。4、例4通分-4-（1）ba21，21ab；（2）yx1，yx1；（3）221yx，xyx21解（1）ba21与21ab的最简公分母为a2b2，所以ba21＝bbab21＝22bab，21ab＝aaba21＝22baa.（2）yx1与yx1的最简公分母为（x-y）(x+y)，即x2－y2，所以yx1＝))((1yxyxyx）（＝22yxyx，yx1＝))(()(1yxyxyx＝22yxyx.请同学们根据这两小题的解法，完成第（3）小题。5、练习（1）与；（2）与。分析：引导学生归纳出分式通分的过程和依据。（1）先确定分母2a2b与ab2c的最简公分母是2a2b2c。然后乘以一个适当的整式。（2）最简分母是（x+5)(x-5).(3)解题时分子与分母同乘以或除以同一个整式。约分的关键是最简公分母的确定，对单项式来说，系数是最小公倍数，相同字母取指数最高次幂；对多项式来说，先分解因式，然后取相同项的最高次幂。6、小结：（1）请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质；（2）分式的约分运算，用到了哪些知识？让学生发表，互相补充，归结为：①因式分解；②分式基本性质；③分式中符号变换规律；约分的结果是，一般要求分、分母不含“－”。（3）把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式，根据分式基本性质，通分前后分式的值没有改变。通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”，才能化成同一分母。确定公分母的方法，通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母。§16.2分式的运算§16.2.1分式的乘除法教学目标：-5-1、让学生通过实践总结分式的乘除法，并能较熟练地进行式的乘除法运算。2、使学生理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算3、引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力教学重点：分式的乘除法、乘方运算教学难点：分式的乘除法、混合运算，以及分式乘法，除法、乘方运算中符号的确定。教学过程：一、复习与情境导入1、(1)：什么叫做分式的约分？约分的根据是什么？(2)：下列各式是否正确？为什么？2、尝试探究：计算：（1）abba32232；（2）baba232.概括：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.（用式子表示如右图所示）二、例题：例1计算：（1）xbaybyxa2222；（2）222222xbyzazbxya.解（1）xbaybyxa2222=xbbyayxa2222=33ba.（2）222222xbyzazbxya=yzaxbzbxya222222=33zx.例2计算：493222xxxx.解原式＝)2)(2()3)(3(32xxxxxx＝23xx.三、练习：回忆：如何计算10965、4365？从中可以得到什么启示。-6-1计算：（1）(2)÷分析：这两题就是分式乘除法的运用。由学生根据法则来进行计算，教师与学生把解题过程补充完整。解：略2计算：（1）(2)÷分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然后运用法则。解：（1）原式==（2）原式=÷==-3计算：（1）2x5x-3÷325x2-9·x5x+3解：原式＝2x5x-3·(5x+3)(5x-3)3·x5x+3=2x23分式的乘除法混合运算就是分子、分母先分解因式，然后把公因式约去。注意运算顺序。四、思考怎样进行分式的乘方呢？试计算：（1）（mn）3（2）（mn）k（k是正整数）（1）（mn）3=mnmnmn＝mmmnnn＝________；（2）（mn）k=个kmnmnmn＝mmmnnn＝___________.仔细观察所得的结果，试总结出分式乘方的法则.计算：（1）(-2a2b3c)2;(2)(a2b-cd3)3÷2ad3·(c2a)2-7-回忆：如何计算5251、6141，从中可以得到什么启示？分析：(1)题是分式乘方的运用，可直接运用公式。（2）运算顺序是先乘方，然后是乘除。要注意运算时的符号。解：（1）原式=4a4b29c2（2）原式=-a6b3c3d9·d32a·c24a2=-a3b38cd6注意在解题时正确地利用幂的乘方及符号。五、小结：1、怎样进行分式的乘除法？2、怎样进行分式的乘方？§16.2.2分式的加减法教学目标：1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算。2、通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分式通分，培养学生分式运算的能力。3、渗透类比、化归数学思想方法，培养学生的能力。教学重点：让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。教学难点：分式的分子是多项式的分式减法的符号法则，去括号法则应用。教学过程：一、实践与探索1、回忆：同分母的分数的加减法法则：同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减。2、试一试：计算：（1）aab2；（2）aba3223、总结一下怎样进行分式的加减法？概括同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.二、例题1、例3计算：xyyxxyyx22)()(-8-2、例4计算：1624432xx.分析．．这里两个加项的分母不同，要先通分.为此，先找出它们的最简公分母.注意到162x=)4)(4(xx,所以最简公分母是)4)(4(xx解1624432xx＝)4)(4(2443xxx＝)4)(4(24)4)(4()4(3xxxxx＝)4)(4(24)4(3xxx＝)4)(4(123xxx＝)4)(4()4(3xxx＝43x三、练习：1计算：（1）5x+3yx2-y2－2xx2-y2(2)12p+3q+12p-3q分析：这两题就是分式加减法的运用。（1）是同分母分式的加减法，直接用法则就可以了。（2）是异分母分式的加减法，过程是先通分，通分的依据是分式的基本性质，化为同分母分式，然后再加减。师生共同来解两个题。教师写出解题过程。解：（1）原式＝5x+3y-2xx2-y2=3x+3yx2-y2=3(x+y)(x+y)(x-y)=3x+y(2)原式＝1(2p-3q)(2p+3q)(2p-3q)+1(2p+3q)(2p+3q)(2p-3q)=2p-3q+2p+3q(2p+3q)(2p-3q)=4p(2p+3q)(2p-3q)=4p4p2-9q2。教师在解题时强调分式计算的结果必须化为最简分式。可以向学生简单介绍最简分式的有关知识，可与最简分数相类比。四、小结：1、同分母分式的加减法：类似于同分母的分数的加减法；2、异分母分式的加减法步骤：①.正确地找出各分式的最简公分母。求最简公分母概括为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母为底的幂的因式都要取；（3）相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。-9-②.准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。③.用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算。④.公分母保持积的形式，将各分子展开。⑤.将得到的结果化