第七章 非线性鲁棒镇定

镇定问题是反馈控制理论的基本问题。无论在何种指标下设计出来的反馈控制器，都必须能够保证闭环系统在期望的平衡点上是稳定的，这是反馈控制器最基本的要求。对于具有不确定性的系统来说，所要求的稳定性还应该具有鲁棒性能，即系统的稳定性不因不确定性的存在而遭到破坏。本章主要介绍基于无源性概念的鲁棒镇定控制器的没计方法。这种设计方法的理论根据就是上一章介绍的无源性与稳定性之间的等价关系，以及基于积分器串联结构的存储函数的递推设计原理。7.1不确定系统的描述•线性系统的动态特性主要是由频域的传递函数阵或时域的状态方程式来描述的。因此，系统中存在的不确定性所造成的模型误差就可以表示为传递函数阵的摄动或状态方程系数阵的摄动误差。而描述非线性系统功态特性的数学手段主要是状态方程式。因此，非线性系统的不确定性，可以表现为状态方程式中参数的或者非线性函数的未知摄动。•比如，如果可以用一个参数向量p来表示系统的未知参数，描述方程的非线性函数向量或者矩阵就应该表示为向量p的函数，即(7.1)如果不确定性所造成的误差不能完全用参数向量表示时，就可以将这种不确定性表示为非线性函数的摄动，即(7.2)其中，△f(x)，△g(x)及△h(x)为未知函数向量或矩阵。),(),(),(pxhyupxgpxfx)()()]()([)()(xhxhyuxgxgxfxfx•本章和第8章主要讨论式（7.2）所示的不确定性系统。第9章讨论式（7.1）所示的具有参数不确定性的系统。图7.1具有两个关节的机械臂系统7.2无源化设计基础•从前一章的讨论可知，如果系统具有相对阶1且是最小相位的，那么就可以通过坐标变换和状态反馈将该系统变成积分器与稳定的子系统的串联形式。基于这种结构，就可以按照6.4节所示的方法，构造保证系统无源性的存储函数。再根据无源性与稳定性的关系，得到使闭环系统稳定的镇定控制器。•因此，从镇定系统的角度来讲，如果给定的输出信号不满足上述特性，即不具有最小相位特性，则通过定义新的输出信号，可以使系统在新的输出信号下成为最小相位的系统，然后再根据上述原理设计反馈镇定控制器。下面就介绍这种方法。•考察非线性系统𝑥=𝑓𝑥+𝑔𝑥𝑢𝑦=ℎ(𝑥)(7.8)假设该系统具有相对阶1，那么该系统与如下具有与积分器串联形式的系统：𝑧=𝑓0(𝑧,𝑦)𝑦=𝑣(7.9)反馈等价，其中𝑣为新的控制输入信号。以下我们将讨论上述系统的镇定问题。应该注意，这里并不要求该系统具有最小相位特性，即，并不要求当𝑦=0时，𝑧子系统是稳定的。•若存在适当的函数𝛽(𝑧)，使得y=𝛽(𝑧)时的子系统𝑧=𝑓0(𝑧,𝛽𝑧)(7.10)在原点𝑧=0渐进稳定，即存在正定函数𝑊(𝑧)使得𝑊=𝐿𝑓0𝑊𝑧0,∀𝑧≠0(7.11)成立，那么对系统(7.9)，选取新的输入信号𝑦=𝑦−𝛽(𝑧)(7.12)并对该系统施加如下坐标变换𝑧𝑦=𝑧𝑦(7.13)那么，系统(7.9)可以表示为𝑧=𝑓0(𝑧,𝛽(𝑧)+𝑦)𝑦=−𝛽𝑧+𝑣(7.13)令反馈控制输入为𝑣=𝛽𝑧+𝑣=𝜕𝛽𝜕𝑧𝑓0𝑧,𝛽𝑧+𝑦+𝑣(7.14)其中,𝑣为辅助输入信号。则系统(7.13)可以表示为𝑧=𝑓0(𝑧,𝛽(𝑧)+𝑦)𝑦=𝑣(7.15)显然，该系统的输出𝑦满足零状态可检测条件，即该系统具有最小相位特性。因此按照6.4节所介绍的方法，将𝑓0(𝑧,𝛽(𝑧)+𝑦)分解为𝑓0𝑧,𝛽𝑧+𝑦=𝑓0𝑧,𝛽𝑧+𝑓(𝑧,𝑦)𝑦就可以将定理6.5应用于系统(7.13),从而得到使闭环系统成为无源系统的反馈控制律𝑣=−𝐿𝑓𝑊𝑧+𝑣′(7.16)而此时闭环系统所对应的存储函数为𝑉𝑧,𝑦=𝑊𝑧+12𝑦2(7.17)由引理6.1描述的无源性与稳定性的等价关系，令𝑣′=−𝑦(7.18)则由式(7.15)、式(7.16)及式(7.18)构成的闭环系统在原点𝑧,𝑦=(0,0)是渐近稳定的。•定理7.1考察系统(7.9)。如果存在函数𝛽(𝑧)(𝛽(0)≠0)和正定函数𝑊(𝑧)，使得式(7.11)成立，则使闭环系统在原点原点𝑧,𝑦=(0,0)是渐近稳定的反馈控制器为𝑣=𝜕𝛽𝜕𝑧𝑓0𝑧,𝑦−𝐿𝑓𝑊𝑧−𝑦+𝛽𝑧(7.19)证明因为坐标变换(𝑧,𝑦)→(𝑧,𝑦)是满秩的，因此，使系统(7.13)稳定的反馈控制器，同样是系统(7.9)的镇定控制器。因此，将式(7.18)、式(7.16)代入式(7.14)，即得反馈控制器式(7.19)。对于相对阶大于1的系统，使用上述方法重复递推可以得到镇定控制器。下面以相对阶为2的系统说明具体推导过程。如果系统(7.8)具有相对阶2，且满足6.7节的几何条件，那么该系统就与具有链式结构的标准型𝑧=𝑓0(𝑧,𝑦1)𝑦1=𝑦2𝑦2=𝑣(7.20)反馈等价。以下针对标准型系统(7.20)，讨论镇定控制器的设计问题。假设存在函数𝛽1(𝑧)和正定函数𝑊(𝑧)，使得𝜕𝑊𝜕𝑧𝑓0𝑧,𝛽1(𝑧)0,∀𝑧≠0(7.21)成立。即当𝑦1=𝛽1(𝑧)时，𝑧子系统在𝑧=0是渐近稳定的。令𝑦1=𝑦1−𝛽1(𝑧)(7.22)则(𝑧,𝑦1)子系统就可以表示为𝑧=𝑓0(𝑧,𝑦1+𝛽1(𝑧))𝑦1=𝑦2−𝛽1(𝑧)(7.23)进一步，若将𝑦2看作是该系统的假想控制输入，那么根据定理7.1可以得到镇定控制器𝑦2=𝛽2𝑧,𝑦1=𝜕𝛽1𝜕𝑧𝑓0𝑧,𝑦1−𝐿𝑓1𝑊𝑧−𝑦1+𝛽1(𝑧)(7.24)其中，𝑓1为满足𝑓0𝑧,𝑦1+𝛽1𝑧=𝑓0𝑧,𝛽1𝑧+𝑓1(𝑧,𝑦1)𝑦1(7.25)的函数向量。令𝑧=𝑧𝑦1,𝐹0𝑧,𝑦2=𝑓0𝑧,𝑦1+𝛽1𝑧𝑦2−𝛽1(𝑧)则系统（7.20）可以表示为𝑧=𝐹0(𝑧,𝑦2)𝑦2=𝑣(7.26)综上可知，对该系统的𝑧子系统，当𝑦2=𝛽2(𝑧,𝑦1)时，正定函数𝑊𝑧,𝑦1=𝑊𝑧+12𝑦12(7.27)将满足𝜕𝑊𝜕𝑧𝐹0𝑧,𝛽2𝑧0,∀𝑧≠0(7.28)故重复应用定理7.1，可以得到系统(7.26)的镇定控制器。实际上，令𝑦2=𝑦2−𝛽2(𝑧)(7.29)且记𝐹1𝑧,𝑦2=01(7.30)则有𝐹0𝑧,𝑦2+𝛽2𝑧=𝐹0𝑧,𝛽2𝑧+𝐹1(𝑧,𝑦2)𝑦2(7.31)故，根据定理7.1，可得系统(7.26)的反馈镇定控制器：𝑣=𝜕𝛽2𝜕𝑧𝐹0𝑧,𝑦2−𝐿𝐹1𝑊𝑧−𝑦2+𝛽2(𝑧)(7.32)又由于𝐿𝐹1𝑊𝑧=𝑦1=𝑦1−𝛽1(𝑧)𝜕𝛽2𝜕𝑧𝐹0𝑧,𝑦2=𝜕𝛽2𝜕𝑧𝑓0𝑧,𝑦1+𝛽1+𝜕𝛽2𝜕𝑦1[𝑦2−𝛽1(𝑧)]最终得到系统(7,20)的镇定控制器为𝑣=𝜕𝛽2𝜕𝑧𝑓0𝑧,𝑦1+𝜕𝛽2𝜕𝑦1𝑦2−𝛽1𝑧−𝑦1+𝛽1𝑧−𝑦2+𝛽2(𝑧,𝑦1)(7.32)回顾上述讨论过程可知，对于相对阶为2的系统，镇定控制器的设计可分为两个阶段完成。•第一阶段，首先视积分器𝑦1的输入𝑦2为假想控制信号，利用𝑧子系统与积分器𝑦1的串联结构，根据定理7.1，得到(z,𝑦1)坐标的子系统所对应的镇定控制器𝛽2(𝑧,𝑦1)。这里，利用反馈函数𝛽2(𝑧,𝑦1)对原系统进行坐标变换𝑧𝑦1𝑦2→𝑧𝑦2=𝑧𝑦1−𝛽1𝑦2后，该系统可以表示为𝑧子系统与积分器𝑦2的串联形式，如式(7.26)。•因此，在第二阶段，就可以再次利用定理7.1得到(𝑧,𝑦2)系统所对应的镇定控制器(7.31)。根据坐标变换的微分同胚特性，该控制器同样也是原系统的镇定控制器。•如果系统的相对阶大于2，即𝑦2所对应的积分器的输入是另一个积分器的输出𝑦3，而不是𝑣，那么，在上述过程的第二阶段中，就可以视𝑦3为假想输入，并利用𝑦3代替𝑣，求得使(z,𝑦1,𝑦2)子系统稳定的反馈控制律𝛽2(z,𝑦1,𝑦2)；•然后，再将系统视为子系统与积分器𝑦3串联，重复利用定理7.1，求得使(z,𝑦1,𝑦2,𝑦3)系统镇定的反馈控制器𝛽3(z,𝑦1,𝑦2,𝑦3)。依此类推，对于相对阶更高的系统，应用定理7.1反复递推，就可以得到位于积分器链输入端的真正的镇定反馈律。•这种从位于积分器链末端的积分器的理想信号开始，沿信号传递的逆向逐步构造理想控制输入的方法．称为Beckstepping法。而在第i步构造的存储函数。即Lyapunov函数，具有如下形式：𝑉𝑖𝑥,𝑦1,⋯,𝑦𝑖=𝑊𝑥+12𝑦𝑗2𝑖𝑗=1该函数是在𝑊𝑥的基础上，逐次叠加12𝑦𝑗2得到的，因此，这种方法也称为Lyapunov函数递推设计方法。•例7.3设被控系统给定如下：𝑧=𝑧𝑦1𝑦1=𝑦2𝑦2=𝑢(7.33)试设计反馈镇定控制器。解：（书上𝑃177）(提示：取𝑦1为该系统的输入，显然该系统具有相对阶2)这种递推设计方法同样适用于具有三角形结构的系统。譬如，对于具有如下结构的系统：𝑧=𝑓0𝑧,𝑦1𝑦1=𝑦2+𝜑1𝑧,𝑦1𝑦2=𝑦3+𝜑2𝑧,𝑦1,𝑦2⋮𝑦𝑟=𝑣+𝜑𝑟(𝑧,𝑦1,⋯,𝑦𝑟)(7.35)同样可以使用以上讨论的递推设计方法，只不过在每一步设计假想控制输入𝛽𝑖(𝑧,𝑦1,⋯,𝑦𝑖)时．必须考虑𝜑𝑖−1的影响。7．3鲁棒无源性从上节的讨论可知，对于非线件系统，可以通过无源化得到反馈镇定控制律。而在无源化的过程中所构造的正定存储函数，就是保证闭环系统稳定性的Lyapunov函数。当系统存在不确定性时，如果在无源化过程中所构造的存储函数仍然能够保证无源性，那么，按照上节的方法设计的控制器同样能够保证闭环系统的鲁棒稳定性。本节首先讨论具有不确定性的系统的无源性条件，下一节再介绍如何基于这个条件设计鲁棒镇定控制器。•考察具有不确定性的系统𝑥=𝑓𝑥+∆𝑓𝑥+𝑔𝑥𝑢𝑦=ℎ(𝑥)(7.42)其中，𝑓𝑥=0,∆𝑓(𝑥)表示系统的不确定性，且假设∆𝑓(𝑥)可以由已知的函数矩阵𝑒(𝑥)及未知的函数向量𝛿(𝑥)描述为∆𝑓𝑥=𝑒(𝑥)𝛿(𝑥)(7.44)而𝛿𝑥则属于如下定义的函数集合：Ω=𝛿(𝑥)𝛿(𝑥)≤𝑛(𝑥)(7.45)其中，𝑛(𝑥)为已知函数向量，∙是函数向量的Euclidean范数。显然，𝑛(𝑥)描述了未知函数的上界。定义7.1对于系统(7.42)，若存在存储函数𝑉(𝑥)，使得KYP条件𝐿𝑓+∆𝑓𝑉(𝑥)≤0𝐿𝑔𝑉𝑥=ℎ𝑇(𝑥)(7.45)对任意的𝛿(𝑥)∈Ω成立，则称该系统是鲁棒无源的。对于鲁棒无源系统，若存在正定函数𝑄𝑥，使得𝐿𝑓+∆𝑓𝑉𝑥≤−𝑄𝑥,∀𝛿(𝑥)∈Ω(7.46)成立，则称试系统(7.42)是严格鲁棒无源的。由于式(7.45)中含有未知函数向量，因此，根据KYP条件(7.45)来判定系统的鲁棒无源性是不容易做到的。•下述定理给出了鲁棒无源性的充分必要条件。定理7.2系统(7.42)对于半正定的存储函数𝑉(𝑥)是鲁棒无源的，当且仅当𝑉(𝑥)满足条件𝐿𝑓𝑉𝑥+𝐿𝑒𝑇𝑉(𝑥)∙𝑛(𝑥)≤0𝐿𝑔𝑉𝑥=ℎ𝑇(𝑥)(7.47)其中，𝐿𝑒𝑇𝑉𝑥=𝐿𝑒𝑉𝑥𝑇。证明：由定义7.1，只需证不等式𝐿𝑓𝑉𝑥+𝐿𝑒𝑇𝑉(𝑥)∙𝑛(𝑥)≤0成立的充分必要性。(具体见书上𝑃180)•推论7.1系统(7.42)对于存储函数𝑉