【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)11.1基本计数原理课件 理 新人教B版

第一节基本计数原理三年8考高考指数:★★★1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是考查重点，在考查两个计数原理的同时还考查分类讨论的思想；2.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题为主.1.分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=_____________种不同的方法.m1+m2+…+mn【即时应用】(1)某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学课代表，则不同的选法种数是_____.(2)集合P={x,1},Q={y,1,2}，其中x,y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是______.【解析】(1)当所选的课代表为男生时有26种选法，当所选的课代表为女生时有24种选法，故共有26+24=50种选法.(2)由集合的性质知x≠1，所以，当x=2时，y可以取3，4，5，6，7，8，9共7个值；当x=y时，y可以取3，4，5，6，7，8，9共7个值，故共有7+7=14种.答案：(1)50(2)142.分步乘法计数原理做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一个步骤有m1种不同的方法,做第二个步骤有m2种不同的方法,…，做第n个步骤有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=________________种不同的方法.m1×m2×…×mn【即时应用】(1)思考：两个原理中对“完成一件事”的要求有什么不同?提示:分类加法计数原理中,每一类办法中的每一种方法都能“完成一件事”;分步乘法计数原理中,只有n步全部完成,才算“完成一件事”.(2)有4名同学要争夺3个项目的冠军，冠军获得者共有____种可能.【解析】要完成这件事，必须将三个项目比赛完，分三步：第一项冠军有4种可能性；第二、第三个项目冠军也各有4种可能性，由分步乘法计数原理知共有4×4×4=64种.答案：64(3)将4封信投进3个不同的信箱里，可有_____种不同的投法.【解析】该问题的实质是必须将4封信全部投完才算完成这件事，共分四步进行，每封信都有3种投入方法，故共有3×3×3×3=81种.答案：81分类加法计数原理【方法点睛】分类加法计数原理的特点及注意问题(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准；(2)完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.(3)使用分类加法计数原理应注意分类时标准要明确，分类应做到不重不漏.【例1】(1)三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数是_____.(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_____.【解题指南】(1)根据三角形中，另两边之和大于11这一条件，对其中一边分类讨论；(2)对十位数字进行分类或对个位数字进行分类.【规范解答】(1)用x，y表示另两边长，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.当y取值11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；当y取值10时，x＝2,3，…，10，可有9个三角形；…当y取值6时，x只能取6，只有一个三角形．由分类加法计数原理知：符合条件的三角形个数是：11+9+7+5+3+1=36(个)，故共有36个.答案：36(2)方法一：根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知：符合条件的两位数的个数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).故共有36个.方法二：分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个；个位是8，则十位可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个；同理个位是7的有6个；…个位是2的有1个.由分类加法计数原理知：符合条件的两位数的个数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).故共有36个.答案：36【反思·感悟】当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题的方法.分步乘法计数原理【方法点睛】应用分步乘法计数原理的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，必须要经过几步才能完成这件事；(2)完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了才算完成这件事，缺少任何一步，这件事都不可能完成.(3)解决分步问题时要合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰，还要注意元素是否可以重复选取.【例2】(2012·烟台模拟)如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，分析因电阻断路的可能性共有多少种情况？【解题指南】每条支线至少同时有一个电阻断路，灯A就不亮.故应分别计算三条支线电阻断路情况，再用分步乘法计数原理求解.【规范解答】每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线，分别记为支线a、b、c，支线a，b中至少有一个电阻断路的情况都有22―1=3种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有23―1=7种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A不亮的情况共有3×3×7=63种情况.【反思·感悟】“至少或至多”型应用题比较抽象，求解时往往容易发生重复或遗漏的现象．在直接考虑分类讨论较复杂时，一方面可从问题的反面入手，采用间接法求解．另一方面也可转换角度考虑问题，将其转化为与之等价的问题来解，从而获得原问题的解.【方法点睛】1.两个计数原理的区别两个原理的综合应用分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一区别二原理区别每类办法都能独立地完成这件事.它是独立的、一次的.且每次得到的是最后结果,只需一种方法就可完成这件事.每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不可,只有各步骤都完成了才能完成这件事.各类办法之间是互斥的,并列的,独立的.各步之间是相互依存的,并且既不能重复也不能遗漏.2.特殊元素(位置)的处理方法对题目中的特殊元素(位置)可优先考虑，即优先考虑限制条件的元素(位置)，然后再考虑其他元素(位置)．【提醒】有些较复杂的问题是将“分类”“分步”结合起来运用．一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理.【例3】(1)(2012·潍坊模拟)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()(A)240(B)204(C)729(D)920(2)(2012·杭州模拟)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有______.【解题指南】(1)先根据中间数分类，再根据两边的数分步；(2)一种思路是顺序涂色，另一种思路是先考虑所用颜色的多少分类，再看每一类中的涂法.【规范解答】(1)选A.分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个；当中间数为3时，有2×3＝6个；当中间数为4时，有3×4＝12个；当中间数为5时，有4×5＝20个；当中间数为6时，有5×6＝30个；当中间数为7时，有6×7＝42个；当中间数为8时，有7×8＝56个；当中间数为9时，有8×9＝72个．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个.(2)方法一：第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法；第四步：涂区域3，(此前三步已经用去三种颜色)分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法.所以，不同的涂色种数有4×3×2×(1×1＋1×3)＝96种.方法二：由题意知，有且仅有两个区域涂相同的颜色，分为4类：1与5同；2与5同；3与5同；1与3同.对于每一类有4×3×2×1=24种涂法，共有4×24=96种方法.答案：96【反思·感悟】1.对于较复杂的既要分类又要分步的问题，注意逻辑顺序，不要混淆两个原理.2.在分步过程中，若下一步的结果与前面的结果有关，应据此进行分类讨论.【易错误区】对“至多”与“至少”的理解出现偏差致误【典例】(2011·北京高考)用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有______个.(用数字作答)【解题指南】先求出所有的四位数的个数，再去掉不满足条件的.【规范解答】用数字2，3可以组成24=16个四位数.其中，只由2可构成1个四位数，只由3可构成1个四位数，故数字2，3至少都出现一次的四位数共有16-1-1=14个.答案：14误区警示在解答本题时有以下两点误区：(1)没有准确理解题意，把四位数全部是2或全部是3的情况计算在内，从而导致错解.(2)不能选择间接法处理问题，而是直接求解，造成计算过程复杂，从而出错.【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：备考建议解决计数问题时，还有以下几点容易导致错解，在备考时要高度关注：(1)搞不清题目的条件、结论及要完成的“事件”，不能合理选择分类原理和分步原理；(2)分类时标准不明确，出现元素遗漏及重复的现象；(3)分步时步骤不合理，各步互相干扰.1.(2011·安徽高考)设集合A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7，8}，则满足S⊆A且S∩B≠的集合S的个数是()(A)57(B)56(C)49(D)8【解析】选B.S⊆A的集合S的个数为26=64，S∩B=的个数为23=8，所以集合S的个数是64-8=56.2.(2011·大纲版全国卷)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()(A)12种(B)24种(C)30种(D)36种【解析】选B.第一步选出2人选修课程甲有=6种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有2×2种选法，根据分步乘法计数原理，有6×4=24种选法.24C3.(2012·大连模拟)现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有()(A)24种(B)36种(C)48种(D)72种【解析】选B.分两类：(1)第一道工序安排甲时有1×1×4×3＝12种；(2)第一道工序不安排甲有1×2×4×3＝24种．∴共有12＋24＝36种．4.(2012·抚顺模拟)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有______个.【解析】当相同的数字不是1时，有个；当相同的数字是1时，共有个，由分类加法计数原理得共有“好数”+=12(个).答案：1213C13C13C13C13C13C