【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)2.13定积分与微积分基本定理课件 理 新

第十三节定积分与微积分基本定理三年8考高考指数:★★★1.了解定积分的实际背景、基本思想,了解定积分的概念；2.了解微积分基本定理的含义.1.定积分的计算与利用定积分求平面图形的面积是高考的重点；2.多以选择题、填空题的形式考查.属中、低档题.1.定积分的定义及相关概念设函数y=f(x)定义在区间［a,b］上，用分点a=x0x1x2…xn-1xn=b把区间［a,b］分为n个小区间，其长度依次为Δxi=xi+1-xi,i=0,1,2,…,n-1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi,作和式____________,n1niii0If()x当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间［a,b］上的定积分，记作_________,即=______________.其中______叫做被积函数，____叫积分下限，_____叫积分上限，________叫做被积式，此时称函数f(x)在区间［a,b］上可积.bafxdxbafxdxn1ii0i0limfxf(x)abf(x)dx【即时应用】(1)思考:积分与是否相等？提示:相等.定积分的大小仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量无关.(2)设f(x)在［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上的平均值为_________.【解析】由定积分的含义可知f(x)在［a,b］上的平均值为答案：bafxdxbaftdtba1fxdx.baba1fxdx.ba2.定积分的几何意义f(x)的几何意义baf(x)dx表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)≥0f(x)0f(x)在[a,b]上有正有负【即时应用】(1)设f(x)是连续函数，且为奇函数，在对称区间［-a,a］上的定积分(2)若y=f(x)与y=g(x)是［a,b］上的两条光滑曲线的方程,则由这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的平面区域的面积为___.(3)设连续函数f(x)0,则当ab时，定积分的符号为________(填“正”或“负”).aafxdx________.bafxdx【解析】(1)由定积分的几何意义和奇函数的性质知(2)利用定积分的几何意义可得，平面区域的面积应表示为(3)由定积分的几何意义知的符号为正.答案：(1)0(2)(3)正aafxdx0；bafxgxdx.bafxdxbafxgxdx3.定积分的基本性质①_______________.②设f(x),g(x)可积,则=___________________.bacfxdxbacfxdx(c)为常数bafxgxdx［］bbaafxdxgxdx【即时应用】(1)已知(2)=___________.【解析】(1)由定积分的性质得(2)由定积分的性质可得又sinx与2x都是奇函数，所以所求定积分为0.答案：(1)1(2)0122001fxdx2,fxdx3fxdx_________.，则22sinx2xdx212001fxdxfxdxfxdx，221100fxdxfxdxfxdx321.222222sinx2xdxsinxdx2xdx，4.微积分基本定理(1)一个结论F′(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之差.(2)微积分基本定理如果F′(x)=f(x),且f(x)在［a,b］上可积，则其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.一般地，原函数在［a,b］上的改变量F(b)-F(a)简记作因此，微积分基本定理可以写成形式：bafxdxFbFa.baFx|,bbaafxdxFx|FbFa.【即时应用】(1)(2)一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4处(单位:m),所做的功为_______.【解析】(1)(2)所做的功为答案：(1)2(2)40J201sind_________.2200021sindcosdcosdcosd2.403x4dx40J.利用微积分定理计算定积分【方法点睛】求定积分的步骤(1)求使F′(x)=f(x)成立的F(x)；(2)计算F(b)-F(a).bafxdx【例1】计算下列定积分.(1)(2012·沈阳模拟)(2)(2012·黄冈模拟)(3)(4)【解题指南】计算的关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x)，从而求得积分值.321dx;xln2x0edx;22042x43xdx;220xsindx.2bafxdx【规范解答】(1)∵(lnx)′=(2)∵(ex)′=ex，(3)(4-2x)(4-3x2)=6x3-12x2-8x+16，==1x，332213dxlnx|ln3ln2ln.x2ln2xxln2ln2000edxe|ee211.22042x43xdx23206x12x8x16dx23222200006xdx12xdx8xdx16dx====8.23222200006xdx12xdx8xdx16dx242322200001116(x)|12(x)|8(x)16x432432311212282162232(4)∵∴====2x1cosxsin22，22200x1cosxsindxdx2222001cosxdxdx22220011(x)sinx221(sinsin0)42212.424【反思·感悟】求定积分时，如果被积函数比较复杂，可把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差的形式，再求解.利用定积分的几何意义求定积分【方法点睛】利用定积分的几何意义求定积分的解题思路(1)利用定积分的几何意义转化为求规则图形(三角形、矩形、圆或其一部分等)的面积.(2)注意常见的一些结论.设函数f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则①若f(x)是偶函数，则②若f(x)是奇函数，则aaa0fxdx2fxdx；aafxdx0.【例2】利用定积分的几何意义求下列定积分(1)(2)【解题指南】(1)利用定积分的几何意义转化为圆面积的一部分；(2)利用常见结论求解.1201xdx;5353x4sinxdx.【规范解答】(1)由定积分的几何意义知表示由曲线y=直线x=0，x=1和y=0围成的封闭图形的面积，故(2)由于被积函数f(x)=3x3+4sinx是定义在［-5，5］上的奇函数.所以所求定积分1201xdx21x，212011xdx.445353x4sinxdx0.【反思·感悟】求定积分值时，应首先选用微积分基本定理，当满足F′(x)=f(x)的F(x)不易求时，可考虑应用定积分的几何意义求解.定积分的综合应用【方法点睛】求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.【提醒】利用定积分求曲边图形面积时,一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时,要分不同情况讨论.【例3】(1)(2011·湖南高考)由直线x=x=y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为()(A)(B)1(C)(D)(2)求函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积.【解题指南】(1)画出草图，分析如何用定积分表示该面积，再求解.(2)画出草图，设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题.,3,312323 x22x0fx2cosx0x2【规范解答】(1)选D.由定积分知识可得S=故选D.(2)所求面积为图中阴影部分的面积,由题意知A(-2,0),B(0,2),C(0),∴所求图形的面积为333333cosxdxsinx|()322，,2022200x2dx2cosxdx22sinx|4.【反思·感悟】1.在求平面图形的面积时，一般需画出草图，观察图形的面积与定积分的关系；2.x轴上侧图形对应的定积分值是正的，下侧图形对应的定积分值是负的.【易错误区】利用定积分求平面图形的面积的易错点【典例】(2011·新课标全国卷)由曲线y=直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为()(A)(B)4(C)(D)6【解题指南】画出图形，确定积分区间，然后用积分求面积.x，103163【规范解答】选C.y=与y=x-2以及y轴所围成的图形面积为如图所示的阴影部分，y=y=x-2得交点坐标为(4,2)，故所求面积为xx32442002x16Sxx2dxx(2x)|.323［］［］联立【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时有两点容易出错：(1)写错图形面积与定积分间的关系致错；(2)积分上、下限确定错误，实际是解析几何的相关知识和运算能力不够致错.备考建议解决利用定积分求平面图形的面积问题时，还有以下几点容易出错，在备考时要高度关注：(1)熟悉常见曲线,能够正确作出图形,求出曲线交点,必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量.1.(2012·济南模拟)定积分的值为()(A)-1(B)e2(C)e2-1(D)1【解析】选D.ln2x0edxln2xxln2ln2000edxe|ee211.2.(2012·临沂模拟)已知t0,若则t=()(A)1(B)2(C)4(D)2或4【解析】选C.=∴t2-2t=8,t2-2t-8=0，(t-4)(t+2)=0,∵t0,∴t=4.t02x2dx8,ttt0002x2dx2xdx2dx2tt200x|2x|t2t.3.(2012·日照模拟)曲线y=与直线y=x-1及x=4所围成的封闭图形的面积为()(A)2-ln2(B)4-2ln2(C)4-ln2(D)2ln2【解析】选B.y=与直线y=x-1及x=4所围成的封闭图形为如图所示的阴影部分，故所求面积为2x2x4242221(x1)dx(xx2lnx)|42ln2.x22y 21,xyx1联立得在第一象限的交点为，4.(2012·德州模拟)若则a=_______;=______.【解析】∴a=3,又表示圆x2+y2=4在x轴上方的面积，故答案：32πa20xdx9，2224xdxa23a30011xdxx|a9,332224xdx2224xdx2.