【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)3.4正弦型函数y=Asin(ωx+φ)课

第四节正弦型函数y=Asin(ωx+φ)三年12考高考指数:★★★1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义，能画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.1.图象的变换规律：平移和伸缩变换在主、客观题中均有考查，是高考中考查的重点和热点.2.结合三角恒等变换考查y=Asin(ωx+φ)的性质及简单应用是考查的热点.1.用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个交点,作图时的一般步骤为:(1)定点：先确定五点.即令ωx+φ分别等于0,π,2π，得对应的五点为________,___________，__________,__________,___________.2，3,2(,0)2(,A)(,0)32(,A)2(,0)(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象.(3)扩展：将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+φ)在R上的图象.【即时应用】(1)思考：三角函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|π)图象的特点是什么？提示：函数y=Asin(ωx+φ)在R上的最大值为A，最小值为-A，也就是图象的最高点与最低点的纵坐标.周期为在一个周期上必有一个最大值与一个最小值.2T，(2)用五点法作函数y=sin(x-)在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是_______、________、_________、________、_________.6【解析】分别令x-=0,π,2π,可求出x的值分别为又因为A=1,所以需要确定的五个点为：(0),(1),(0),(-1),(0).答案：(0),(1),(0),(-1),(0).6,23,227513,,,,.63636,62,37,65,313,6,62,37,65,313,62.三角函数图象的变化规律(其中A＞0，ω0)(1)先平移后伸缩y=sinx的图象y=sin(x+φ)的图象y=sin(ωx+φ)的图象y=Asin(ωx+φ)的图象y=Asin(ωx+φ)+k的图象．(0)(0)____向左或向右平移个单位长度011____()横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变1A10A1____()纵坐标伸长或缩短为原来的倍横坐标不变Ak0k0k向上或向下平移个单位长度|φ|(2)先伸缩后平移y=sinx的图象y=Asinx的图象y=Asinωx的图象y=Asin(ωx+φ)的图象y=Asin(ωx+φ)+k的图象．(0)(0)____向左或向右平移个单位长度011____()横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变A10A1____()纵坐标伸长或缩短为原来的倍横坐标不变Ak0k0k向上或向下平移个单位长度1【即时应用】(1)y＝sin(x＋)的图象是由y＝sinx的图象向________平移________个单位得到的.(2)y＝sin(x－)的图象是由y＝sinx的图象向________平移________个单位得到的.(3)y＝sin(x－)的图象是由y＝sin(x＋)的图象向_____平移______个单位得到的.(4)y=sin(2x+)的图象是由y=sin2x的图象向________平移_______个单位得到的.44443【解析】(1)(2)(3)根据图象变化规律易求.(4)∵y=sin(2x+)=sin[2(x+)],∴将y=sin2x的图象向左平移个单位长度就得到y=sin(2x+)的图象.答案：(1)左(2)右(3)右(4)左366344263.函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义在物理上，当函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0),x∈［0,+∞)表示简谐运动时，则各量的物理意义为物理量振幅周期频率相位初相表达式A2T1fT2ωx+φφ【即时应用】如图，它表示电流I=Asin(ωt+φ)(A0,ω0,|φ|＜)在一个周期内的图象.则(1)I=Asin(ωt+φ)的解析式：______，其频率f=________.(2)它的相位为_______，初相为_______.2【解析】由图象知A=所以由+φ=2kπ+π得φ=2kπ+(k∈Z),∵|φ|＜∴φ=所以I=sin(t+)，T=即f=答案：(1)I=sin(t+)(2)3，1113T22050100，632100T,10050T3由＝；10013503,2;3310033350，50.3310033503100t333函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象及其图象变换【方法点睛】函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象的作法(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z取0，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.2，32，(2)图象变换法：由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【提醒】五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图象变换要注意顺序，平移时两种平移的单位长度不同.【例1】画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图.【解题指南】作函数y＝3sin(2x＋)的图象可用五点作图或图象变换法.【规范解答】方法一：五点法由T＝得T＝π，列表：3322，x2x+0π2π3sin(2x+)030-3061237125632323描点画图：将所得图象按周期向两侧扩展可得y=3sin(2x+)在R上的图象.3xyO65671212333方法二：图象变换法将所得图象按周期向两侧扩展可得在R上的图象.y3sin(2x)3ysinx＝3左移个单位ysin(x)3＝＋12纵坐标不变横坐标变为原来的ysin(2x)3＝＋3纵坐标变为倍横坐标不变y3sin(2x)3xy365653Oysin(2x)3＝＋ysin(x)3＝＋y3sin(2x)3【反思·感悟】1.五点法作图的关键是正确确定五个点,而后列表、描点、连线即可.要注意在作出一个周期上的简图后，应向两侧伸展，以表示整个定义域上的图象.2.用图象变换法作图仅能作出简图.由图象求解析式【方法点睛】确定y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m,则(2)求ω，确定函数的周期T，则可得(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω,b已知)或MmMmA,b.222.T代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx+φ=“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx+φ=“第五点”时ωx+φ=2π.【提醒】在求φ时要注意已知中所给的φ的范围.;232；【例2】(1)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0,ω＞0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()(A)A＝3，Ｔ＝φ＝(B)A＝1，Ｔ＝φ＝(C)A＝1，Ｔ＝φ＝－(D)A＝1，Ｔ＝φ＝43，6－43，43，43，34346－(2)函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜π)在一个周期内的图象如图，则此函数的解析式为()(A)y=2sin(2x+)(B)y=2sin(2x+)(C)y=2sin(-)(D)y=2sin(2x-)23333x2(3)如图是f(x)＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0,｜φ｜＜的一段图象，则函数f(x)的解析式为_____.【解题指南】由图象确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)中的各值，首先确定A的值，其次根据图象求周期T，根据周期求ω；最后根据所给的数据求φ.2【规范解答】(1)选C.由图象知，所以T=ω＝由+φ＝+2kπ得φ=+2kπ,k∈Z，当k=-1时，φ=(2)选A.由图象知A=2，∴T=π,∴ω=2,∴函数解析式为y=2sin(2x+φ),又当x=时，y=2,即sin(+φ)=1,∴φ=31T52A122663，＝＝，43，32；36232543.4T5(),2121221262.3(3)由图象得A=2，当x=0时，sinφ＝因为｜φ｜＜所以所以由题图可知ω×=π，∴ω=3.所以y=2sin(3x+).答案：y=2sin(3x+)32，2，3，29333【反思·感悟】1．振幅A与最值有关；ω与周期T有关；初相φ用待定系数法求解;2．利用待定系数法解题的过程中选择的点要慎重;3．要善于观察图象，抓住图象的特征.三角函数性质的应用【方法点睛】函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的性质(1)奇偶性φ=kπ(k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数；φ=kπ+(k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数.(2)周期性y=Asin(ωx+φ)存在周期性，其最小正周期为T=22.(3)单调性根据y=sint和t=ωx+φ的单调性来研究，由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ,k∈Z得单调增区间；由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ,k∈Z得单调减区间.(4)对称性利用y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx+φ=kπ,(k∈Z)求得x.利用y=sinx的对称轴为x=kπ+(k∈Z)求解,令ωx+φ=kπ+(k∈Z),得其对称轴.2223222【例3】(2012·德州模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|)的图象与y轴的交点为(0，1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2).(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)若锐角θ满足cosθ=求f(4θ)的值.213，【解题指南】(1)根据已知条件，结合图象可求出A、ω、φ，即可得出f(x)的解析式；(2)由cosθ=及f(x)的解析式可求得f(4θ)的值.【规范解答】(1)由题意可得：A=2,=2π,即f(x)=2sin(x+φ),f(0)=2sinφ=1,由|φ|得φ=所以f(x)=2sin()，∵f(x0)=2sin()=2，∴=2kπ+x0=4kπ+(k∈Z)，13T2214,.2122，,61x2601x2601x26,223又∵x0是满足2sin()=2的最小的正数，∴k=0时，x0=(2)f(4θ)=2sin(2θ+)=sin2θ+cos2θ,∵θ∈(0,),cosθ=∴sinθ=cos2θ=2cos2θ-1=sin2θ=2sinθcosθ=∴f(4θ)=1x262.36321,322,37,942,94274673.999【反思·感悟】求三角函数y=Asin(ωx+φ)的性质，不论是周期性、单调性、对称性还是求