晶格振动1

固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内，我们讨论了X光衍射发生的条件，以后还将在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。晶格振动的研究始于固体热容研究，19世纪初人们就通过Dulong-Petit定律认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到20世纪初才由Einstein利用Plank量子假说解释了固体热容为什么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子振动的研究，1912年玻恩(Born，1954年Nobel物理学奖获得者)和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发表的更为简单的Debye热容理论（弹性波近似）已经可以很好的说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye模型不足，所以1935年Blackman才重新利用Born和Von-Karman近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后来黄昆先生在晶格振动研究上成就突出，特别是1954年和Born共同写作的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作。3(),(3)VABABVEcNkfTENkTT黄昆院士简介:（摘录）1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学习，获哲学博士学位；发表《稀固溶体的X光漫散射》论文，理论上预言“黄散射”。1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博士后研究员，这期间建立了“黄方程”，提出了声子极化激元的概念，并与李爱扶（A.Rhys）建立了多声子跃迁理论。1947-1952年，与玻恩教授合著《晶格动力学》(DynamicalTheoryofCrystalLattices)一书（英国牛津出版社，1954年）。（2006年中文版）我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献。黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡献。他的名字与多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振动长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在一起。他是“极化激元”概念的最早阐述者。2.1晶格振动的经典理论参考：黄昆书3.2－3.4节（p82-103）3.8节（p132-137)Kittel书4.1和4.2两节一.一维单原子链的晶格振动二.一维双原子链的晶格振动三.三维晶体中原子的振动四.态密度函数五.近似条件与使用范围晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出晶格振动的基本特点。一.一维单原子链的振动运动方程：考虑N个质量为m的同种原子组成的一维单原子链。设平衡时相邻原子间距为a（即原胞大小），在t时刻第n个原子偏离其平衡位置的位移为n2n1nn1n2n为了建立起运动方程，我们首先要对原子之间的相互作用力做些讨论，设在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生相对位移（例如）后势能发生变化是V(a+δ)，将它在平衡位置附近做泰勒展开：232323d1d1d()()()d2d3!daaaVVVVrVaVarrr首项是常数，可取为能量零点，由于平衡时势能取极小值，第二项为零，简谐近似下，我们只取到第三项，即势能展开式中的二阶项（δ2项），而忽略三阶及三阶以上的项，显然，这只适用于微振动，即δ值很小的情况。此时，恢复力：22ddddaVVfrrβ称为恢复力常数22ddaVr相当于把相邻原子间的相互作用力看作是正比于相对位移的弹性恢复力。nn11211112nnnnnnnnfff如只考虑最近邻原子间的相互作用，第n个原子受到的力：于是第n个原子的运动方程可写为：一维原子链上的每个原子，忽略边界原子的区别，应有同样的方程，所以它是和原子数目相同的N个联立的线性齐次方程。方程的解：这样的线性齐次方程应有一个波形式的解：nqitnaqAeA是振幅，ω是角频率，q是波数，λ是波长，naq是第n个原子的位相因子，将试解代入方程求解。2qnnnndtdm21122这个结果与n无关，说明N个方程都有同样结果，即所有原子都同时以相同的频率ω和相同的振幅A在振动，但不同的原子间有一个相差，相邻原子间的相差是。该结果还表示：只要ω和q满足上述关系，试解就是联立方程的解。通常把ω和q的关系称作色散关系。2112itnaqitnaqitnaqitnaqmAeAeAeAe222cos1iaqiaqmeeaq12sin2aqm解得——色散关系Dispersioncurvesqa（利用欧拉公式）解的物理意义：格波原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距的整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。2,(,,manalmnlq都是整数）。2q如：expexpexp(2)expmnuAitmaqAitnaqilAitnaqu有：1该解表明：晶体中所有原子共同参与的振动，以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质弹性波中的x是可以连续取值的；而在格波中只能取na格点位置这样的孤立值。nqitnaqAeAitxqe连续介质弹性波：第一布里渊区里的色散关系：★分立原子集体振动形成的格波与连续介质中的弹性波相比，色散关系发生了变化，偏离了线性关系，而且具有周期性和反射对称性qq'0q(q)-/a/aSvq2()()qnqa()()qqq★从解的表达式中可以看出：把aq改变2π的整数倍后，所有原子的振动实际上没有任何区别，因此有物理意义的q取值范围可以限制在第一布里渊区内。aqqaa这种性质称作格波的简约性。一维单原子链的倒格矢：2nGna在波矢空间这就避免了某一频率的格波有很多波长与之对应的问题由图明显看出两个不同波长的格波只表示晶体原子的一种振动状态，q只需要在第一布里渊区内取值即可，这是与连续介质弹性波的重大区别。12445aa112222252qaqa参考黄昆书p85图由白线所代表的波不能给出比黑虚线更多的信息，为了表示这个运动，只需要大于2a的波长。见KittelP70图周期性边界条件（Born－Karman边界条件）nnN上面求解假定原子链无限长，这是不现实的，确定何种边界条件才既能使运动方程可解，又能使结果符合实际晶体的测量结果呢？Born－Karman最早利用周期性边界条件解决了此问题，成为固体理论的一个典范。所谓周期性边界条件就是将一有限长度的晶体链看成无限长晶体链的一个重复单元，即：itNnaqitnaqAeAe1iNaqe即：2qnNan=任意整数，但考虑到q值的取值范围，n取值数目是有限的：只有布里渊区内的N个整数值。2naNaa22NNn周期性边界条件并没有改变方程解的形式，只是对解提出一定的条件，q只可取N个不同的值，每个q对应着一个格波。引入周期性边界条件后，波数q不能任意取值，只能取分立的值。在q轴上，相邻两个q的取值相距，即在q轴上，每一个q的取值所占的空间为：Na2Na2所以，q值的分布密度（单位长度上的模式数目）：22NaLqL＝Na为晶体链的长度。第一布里渊区中波数q的取值总数等于晶体链的原胞个数，即：晶格振动格波的总数=N·1=晶体链的总自由度数。22()2NaqNaa至此，我们可以有把握的说找到了原子链的全部振动模。4m一维原子链第一布里渊区内的色散关系：qsin2qa在长波长极限区，即时，格波就是弹性波。0qsin22qaqaaqmsYavma和弹性波的结果一致。随着q的增长，ω数值逐渐偏离线性关系，变得平缓，在布里渊区边界，格波频率达到极大值。qamax4m相速和群速：相速度是单色波单位时间内一定的振动位相所传播的距离。群速度是平均频率为ω，平均波矢为q的波包的传播速度，它是合成波能量和动量的传播速度。pvfqpvqvddqvq在的长波极限下：0qpqsvvv即声速。在布里渊区边界处：,2,0qqava群速度为零，这是因为此时近邻原子散射的子波与入射波位相相差π，由B原子反射的子波到达近邻A原子处时恰好和A原子反射的子波同位相，对所有原子的散射波都满足上述条件，所以当时，散射子波之间发生相长干涉，结果反射达到最大值，并与入射波相结合，形成驻波，群速度为零。这和X射线衍射的Bragg条件是一致的，也同样显示了布里渊区边界的特征。它们都是由于入射波的波动性和晶格的周期性所产生的结果。入射波反射波2aqa所以一维单原子就像一个低通滤波器，它只能传播的弹性波，高于频率的弹性波被强烈衰减。max0max该图表明了波矢的等价性，是以移动一个倒格矢量为准。2nGna上面求解可以推广到平面点阵，但有纵波和横波之分，它们的原子位移状况是不同的，横波情形可用同样方法求解，也将得到类似结果。见kittelP68图qq二.一维双原子链的晶格振动运动方程及其解：考虑一个由质量m和质量M两种原子（设Mm）等距相间排列的一维双原子链，设晶格常数为2a，平衡时相邻两原子的间距为a，原子间的力常数为。在t时刻，两种原子的位移分别为：Mm2nu21nu22nu22nu21nu221nnuu若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，则运动方程为：2221212d2dnnnnuMuuut221222212d2dnnnnumuuut试解：22itnaqnuAe2121itnaqnuBe222cos0MAaqB22cos20aqAmB③代入方程得：②①2222cos02cos2Maqaqm有解条件是久期方程为零：解得:22411sinMmMmaqMmMm＝22122211114sin2cos2qaMmMmmMmMmMmMqamM④⑤⑥解的三种表达式④⑤⑥是等价的，下面讨论时可任选其一。aqMmmMmMMm222sin4)()(一维双原子链得到了两个解，两种色散关系，它们都是q的周期函数，和一维单原子相同的讨论可知，q取值范围也在第一布里渊区（）内。此时点阵基矢是2a，倒易点阵基矢是22qaa2a2aamMmM称约化质量。一维双原子链晶体可作带通滤波器图中a带隙零点和布里渊边界数值的确定：利用④式讨论。0q22211mMmMmMmM2qa2110mMmM222121mMMmmMmMmmMMmmMmMM2sin0qa2sin1qa结果绘在上