第八章第4节空间曲线及其方程(1)

1第一节、向量及其线性运算第三节、曲面及其方程第8章本章内容：第二节、数量积向量积混合积*第八章空间解析几何与向量代数第四节、空间曲线及其方程第五节、平面及其方程第六节、空间直线及其方程2空间曲线及其方程第四节一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影四、小结3一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组2SL0),,(zyxF0),,(zyxG1S例如,方程组表示圆柱面与平面的交线L.xzy1oL2交线L上的任一点),,(zyxM由于它既在曲面S1上，又在S2上，故其坐标同时满足上面两个方程即满足方程组。4又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线L.yxza又如,方程组表示球心在原点，半径为5的球面半径为4。与平面的交线，它是在平面3z上的一个圆，圆心为（0,0,3）3z5)()()(tzztyytxx当给定1tt时，就得到曲线上的一个点),,(111zyx，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程6动点从A点出发，经过t时间，运动到M点例1如果空间一点M在圆柱面222ayx上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升（其中、v都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．AMMM在xoy面的投影)0,,(yxMtaxcostaysinvtzt螺旋线的参数方程取时间t为参数，解xyzo7螺旋线的参数方程还可以写为bzayaxsincos),(vbt螺旋线的重要性质：,:00,:00bbbz上升的高度与转过的角度成正比．即上升的高度bh2螺距,28例2.将下列曲线化为参数方程表示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为9三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线的一般方程：0),,(0),,(zyxGzyxF:投影曲线xyzo.,垂足所构成的曲线上各点向坐标面作垂线从曲线C准线投影柱面投影曲线10zyxC1o例如C在xoy面上的投影曲线方程为002222zyyx)2(1)1()1()1(1:222222zyxzyxC（1）－（2）得)3(1yz将（3）代入（1）整理得11:投影曲线方程的求法设空间曲线的一般方程0),,(0),,(zyxGzyxF消去变量z后得：0),(yxH曲线关于xoy面的投影柱面空间曲线在xoy面上的投影曲线00),(zyxH12类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影00),(xzyR00),(yzxT面上的投影曲线,yoz面上的投影曲线,xoz设空间曲线的一般方程：0),,(0),,(zyxGzyxF13例3求曲线在坐标面上的投影.211222zzyx解（1）消去变量z后得,4322yx在面上的投影为xoy,04322zyx14所以在面上的投影为线段.xoz;23||,021xyz（3）同理在面上的投影也为线段.yoz.23||,021yxz（2）因为曲线在平面上，21z15求抛物面xzy22与平面02zyx的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.交线方程为0222zyxxzy解如图,例416（2）消去y得投影,0042522yxxzzx（3）消去x得投影.00222xzyzy（1）消去z得投影,004522zxxyyx0222zyxxzy17补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面18例5.,)(34,2222面上的投影求它在锥面所围成和由上半球面设一个立体xoyyxzyxz解半球面和锥面的交线为,)(3,4:2222yxzyxzC,122yxz得投影柱面消去19面上的投影为在则交线xoyC.0,122zyx一个圆,面上的投影为所求立体在xoy.122yx20空间曲线的一般方程、参数方程．四、小结空间曲线在坐标面上的投影．0),,(0),,(zyxGzyxF)()()(tzztyytxx00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxT21P37题1(2)ozyxo121x2y(1)224yxz0xyxzyo2答案:22(3)zxyooaoa222azx222ayx23P37题2(1)ozy15xy32xy15xy32xy24yz2x3思考:by对平面交线情况如何?交线情况如何?P37题2(2)19422yx3y25P37题7022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzayxza263748P习题P373，4，5（1），6,8作业27思考题求椭圆抛物面zxy222与抛物柱面zx22的交线关于xoy面的投影柱面和在xoy面上的投影曲线方程.28思考题解答,22222zxzxy交线方程为消去z得投影柱面,122yx在面上的投影为xoy.0122zyx