正交基的求法

2020年2月15日星期六第二十一次课高等代数总结第一章多项式1)最大公因式,带余除法;2)因式分解,不同数域;3)重因式;4)多项式函数;2020年2月15日星期六2020年2月15日星期六第二章多项式矩阵1)多项式矩阵概念,初等变换;2)等价标准形,不变因子,行列式因子;3)初等因子;4)矩阵相似条件与相似标准形;2020年2月15日星期六第三章欧氏空间定义及性质设V是R上的线性空间,在V上定义了一个二元实函数,(·,·):VVR,它具有如下性质:1)对称性:(,)=(,),,V;2)双线性:(+,)=(,)+(,),,,V,(k,)=k(,),kR3)正定性:(,)0,等号成立=0,V.称V为欧几里得空间.2020年2月15日星期六(,)(,)iijjijijijijuvuv向量的长度,距离,夹角2)正齐次性:|k|=|k|||,kR,V,2020年2月15日星期六4)向量的距离:,V,非负实数称为与的距离.性质:(4.1)对称性:d(,)=d(,);(4.2)正定性:d(,)0,等号成立,当且仅当=;(4.3)三角不等式:d(,)d(,)+d(,),V.5)向量的夹角:非零向量,V的夹角,规定为1(,),cos,,[0,]2020年2月15日星期六不等式1)Cauchy-Schwartz不等式:|(,)|||||,,V等号成立,当且仅当,线性相关.2)三角不等式:|+|||+||,,V,正交、投影1)正交:,V,若(,)=0,则称,正交,记为.2)投影:,V,定义(,)/(,),为在上的投影.其中0.2020年2月15日星期六度量矩阵设:11(,)(,)nnTijijijxyAxy由此,给定了一组基下的度量矩阵,就唯一定义了内积.2020年2月15日星期六线性代数与几何（下）度量矩阵的性质:2020年2月15日星期六幺正基2020年2月15日星期六3)性质:i)正交基的度量矩阵为对角矩阵,反之度量矩阵是对角矩阵的基是正交基.ii)标准正交基的度量矩阵为单位矩阵,度量矩阵为单位矩阵的基是标准正交基.1(,)niii2020年2月15日星期六5)标准正交基下的内积:11(,)(,)nnTijijijxyxy2020年2月15日星期六正交基的求法1)定理:欧氏空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基.2020年2月15日星期六2)施密特(Schmidt)正交化过程(2.1)正交化:ii)取1111(,),1,,1(,)mmimmiiiimn2020年2月15日星期六3)一些结果:i)由Schmidt正交化过程确定的标准正交基到原基的过渡矩阵为上三角阵.ii)可逆矩阵可分解为正交矩阵和上三角阵的乘积.iii)标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,而由标准正交基和一个正交矩阵作为过渡矩阵所确定的基是标准正交基.v)正交矩阵之积是正交矩阵.2020年2月15日星期六欧氏空间的同构1)定义:称R上欧氏空间V与V'为同构的，系指由V到V'有一个1-1映上的映射,适合i)线性(+)=()+(),,V(k)=k(),kRii)保持内积:((),())=(,)则称为V到V'的同构映射.2)性质:ii)两个有限维欧氏空间同构,当且仅当它们维数相同.2020年2月15日星期六正交变换1)定义:欧氏空间V上的线性变换A称为正交变换,系指它保持V的向量内积不变,即,V有(A,A)=(,).2)性质:(2.1)正交变换A是V到AV的一个同构.(2.2)A是正交变换V,|A|=||,A将标准正交基变为标准正交基.A在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.2020年2月15日星期六(2.3)正交变换的逆是正交变换.(2.4)正交变换的乘积是正交变换.(2.5)正交矩阵的乘积,正交矩阵的逆也是正交矩阵.2020年2月15日星期六正交子空间2)性质:2020年2月15日星期六对称变换(1.1)(A)R.2020年2月15日星期六(1.4)A的属于不同特征值的特征子空间正交.(1.6)任意二次型:都可以经过正交替换变成平方和11,nnTijijijjiijXAXaxxaa21niiiy2020年2月15日星期六2)对称变换定义:欧氏空间中满足(A,)=(,A),,V的线性变换A称为对称变换.2020年2月15日星期六2020年2月15日星期六2020年2月15日星期六23第四章二次型与二次曲面2020年2月15日星期六242020年2月15日星期六252020年2月15日星期六264二次曲面的种类(注意：共有17种)一般形式:令:则二次曲面的一般形式可记为:2020年2月15日星期六定义引理则原方程化为:2020年2月15日星期六1)不含一次项:椭球面虚椭球面原点单叶双曲面双叶双曲面二次锥面椭圆柱面虚椭圆柱面直线2020年2月15日星期六2)含有一次项(抛物面):椭圆抛物面:双曲抛物面:抛物柱面:2020年2月15日星期六2020年2月15日星期六线性代数与几何（下）第五章双线性函数n可以视为内积函数的扩展2020年2月15日星期六2020年2月15日星期六线性代数与几何（下）关于期末考试考试时间和地点：时间:2017年1月4日(星期三)下午，具体时间待定地点:待定答疑时间和地点：1月2日上午8：00－11：00力学楼327办公室考试内容：本学期课堂讲授的内容,2020年2月15日星期六2020年2月15日星期六线性代数与几何（下）难度按学校要求,有相应的优秀率与不及格率。考试纪律:1)考试时携带学生证,以备教务部门随时查询;2)监考教师有权指定任何参加考试同学的坐位,请同学们严格按指定位置就坐;3)只携带考试用的笔及涂改工具,其它均视为与考试无关的东西,不得带入考场坐位,否则视为作弊;2020年2月15日星期六2020年2月15日星期六线性代数与几何（下）4)考前请同学们做好准备,交卷前不得以任何理由离开考场;5)因故不能参加考试的同学,必须提前履行书面申请,并经我院王建祥副院长批准,对未经批准而未参加考试的同学,按旷考论处;6)根据学校有关规定,在考试成绩确定之前,不得以任何方式影响教师批改试卷(如找家长、辅导员、熟人说情，或给老师打电话，发邮件等);否则均视为考试作弊。成绩出来后可到系里直接查询。2020年2月15日星期六2020年2月15日星期六线性代数与几何（下）