运筹学线性规划的图解法

第二节线性规划的图解法对于只包含两个决策变量的线性规划问题，可以用图解法来求解。图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。例10,12241032..46max21212121xxxxxxtsxxF一、解的概念可行解把满足约束条件的一组决策变量值x1，x2，…，xn称为该线性规划问题的可行解。可行解集/可行解域满足约束条件的可行解的全体称为可行解集。在平面上，所有可行解的点的集合称为可行解域。最优解在可行解集中，使目标函数达到最优值的可行解称为最优解。图解法的一般步骤1、建立数学模型。2、绘制约束条件不等式图，做出可行解集对应的可行解域。3、画目标函数图。4、判断解的形式，得出结论。1、建立数学模型0,12241032..46max21212121xxxxxxtsxxF2、绘制可行解域x1x2426351103221xx122421xxOABC可行解域为阴影部分OABC3、画目标函数图令目标函数值为零，可得到斜率，根据斜率做一过原点的直线。（如果可行解域在第一象限，且目标函数等值线斜率为负）若给出问题是求最大值，把目标函数等值线平行移动到与可行解域最后相交的点，这点就是问题的最优解；若给出问题是求最小值，把目标函数等值线平行移动到与可行解域最先相交的点，这点即为问题的最优解。3、画目标函数图122421xx204621xxx1x2426351103221xxOABC04621xx4、判断解的形式，得出结论。本题有唯一的最优解。解法：最优解是由两根直线所确定的最后的交点；解由此两根直线相应方程所组成的方程组，得到问题的精确最优解；将最优解代入目标函数，得最优值。4、求出最优解。2221xx最优解：122410322121xxxx将最优解代入目标函数，得最优值：2024264x6xmaxF21例20,062845..32min2121212121xxxxxxxxtsxxF解、绘制可行解域8421xxx1x242D462521xxx1≥0x2≥0A6221xxBC可行解域为开放区域x2ABCDx1解、画目标函数等值线8421xx6221xxx1x242D462521xxx1≥0x2≥0ABC03221xxC点为最优解解、求出最优解。1421xx最优解：6252121xxxx将最优解代入目标函数，得最优值：1113423x2xminF21例3将例2中目标函数改为maxF=2x1+3x2，约束条件不变。解、可行解域不变8421xx6221xxx1x242D462521xxx1≥0x2≥0ABC03221xx解该问题有可行解但最优解无界，即无界解。例40,08234..42max21212121xxxxxxtsxxF解、绘制可行解域41x32xx1x226518221xxBCDAO可行解域为阴影部分OABCD解、移动目标函数等值线41x32x8221xxx1x22651BCDAO04221xx解、目标函数等值线最终与可行解域边线重合41x32x8221xxx1x22651BCDAO04221xx解最优解为BC线段上所有点（无穷多个最优解）最优值为16。例50,001..2max212121xxxxtsxxF解x1x20121xx解得：无可行解，无最优解。思考题与练习题