第一章 拓扑空间与

第一章拓扑空间与连续映射第一节拓扑空间数学分析中连续概念的刻画1．1拓扑空间的定义例子Ex.5（欧氏拓扑）设R是全体实数的集合，拓扑的比较•问题1（如何构造具体的拓扑）•（1）若X有一个元素，则X上一共有几个拓扑？（1个）•（2）若X有两个元素，则X上一共有几个拓扑？（4个）•（3）若X有三个元素，则X上一共有几个拓扑？（29个）•（4）若X有n（）个元素，则4n≥X上一共有几个拓扑？(思考题)•1.2由度量诱导的拓扑•1．3拓扑空间中的几个基本概念•闭集•Def.1拓扑空间X的子集A称为闭集，如果Ac是开集。••1．4子空间第二节连续映射与同胚映射•2．1连续映射的定义•2．2连续映射的性质下列映射一定连续：•2．3同胚映射下面求f的逆映射，为此令第三节乘积空间与拓扑基•在第一节中，我们曾提出过如下问题：•问题3设11(,Xτ)和22(,Xτ)都是拓扑空间，则如何给出1XX×2上的拓扑结构τ？（乘积拓扑）•3.1乘积空间•1．投射：注：τ是满足这两个投射都连续的最小拓扑。（思考为什么要这样？）•2．生成的子集族：设Γ是X的一个子集族，规定新的子集族类似地，可以给出有限个拓扑空间的乘积空间。任意多个集合的笛卡尔积无限个拓扑空间的乘积空间定义比较麻烦，一般有两种：•3.2乘积空间的性质•3．3拓扑基想法：度量空间中的开集是若干个互不相交的球形邻域的并。度量拓扑由球形邻域生成；乘积拓扑由一个特定的子集族生成。拓扑基就是从上述方法中抽象出来的。•Pro1.Γ是集合X的拓扑基的充分必要条件是：•补充知识：拓扑空间的子基（可参考熊金城《点集拓扑讲义》）