自动控制原理第三章 二阶系统PPT

第三章时域分析法第一节系统时域性能指标第二节一阶系统时域分析第五节系统稳定性分析第六节系统稳态性能分析第三章时域分析法第三节二阶系统时域分析第四节高阶系统时域分析系统的时域性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标。动态性能指标又可分为跟随性能指标和抗扰性能指标。第一节系统的时域性能指标1．跟随性能指标跟随性能指标是根据典型的单位阶跃响应定义的。第一节系统的时域性能指标系统的性能指标主要有时域性能指标和频域性能指标，与输入信号有关。第一节系统的时域性能指标tc(t)01(1)上升时间tr输出响应从零开始第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间：单位阶跃响应曲线tr(2)峰值时间tptp峰值时间：系统输出响应由零开始，第一次到达峰值所需时间。σ%(3)超调量σ%超调量：输出响应超出稳态值的最大偏离量占稳态值的百分比。σ%=c(tp)-c(∞)c(∞)100%(4)调节时间ts系统输出响应达到并保持在稳态值的±5%（或±2%）误差范围内，所需时间。ts(5)稳态误差ess系统期望值与实际输出的最终稳态值之间的差值。ess第一节系统的时域性能指标2．抗扰性能指标如果控制系统在稳态运行中受到扰动作用,经历一段动态过程后又能达到新的稳态。可用抗扰性能指标来描述系统的抗扰性能.根据系统在负载扰动之后的典型过度过程定义抗扰性能指标:tνtc(t)0（1）动态降落系统输出的最大降落值。C∞1△cmax（2）恢复时间系统输出恢复到与误差带范围所需的时间。±5%返回第三章时域分析法第二节一阶系统时域分析根据系统的输出响应求取系统的性能指标，从而分析系统的性能，是时域分析法分析系统性能的基本方法。一、一阶系统的数学模型二、一阶系统的时域响应及性能分析一、一阶系统的数学模型T—时间常数1TS_R(s)E(s)C(s)一阶系统的方框图闭环传递函数为1TS+1Ф(s)=C(s)R(s)=当控制系统的数学模型为一阶微分方程时，称其为一阶系统。第二节一阶系统性能分析第二节一阶系统性能分析1．单位阶跃响应系统在单位阶跃信号作用下的输出响应.一阶系统单位阶跃响应:单位阶跃响应:1=S1S+1/T-1SC(s)=Ф(s)•1TS+1=1S•R(s)1=Sc(t)=1-e-t/T一阶系统没有超调，系统的动态性能指标为调节时间：ts=4Tts=3T(±2%)(±5%)二、一阶系统时域响应及性能分析第二节一阶系统性能分析一阶系统单位阶跃响应曲线c(t)t0T10.6322T0.863T0.954T0.98第二节一阶系统性能分析2．单位斜坡响应R(s)1=S2c(t)=t-T+Te-t/TC(s)=Ф(s)•1S21TS+1=•1S2T=STS+1/T-1S2+单位斜坡响应为:单位斜坡响应曲线h(t)t0T第二节一阶系统性能分析3．单位脉冲响应单位脉冲响应为:R(s)=1=1/TS+1/TC(s)=Ф(s)=TS+11c(t)=g(t)=e-t/TT1单位脉冲响应曲线c(t)t0T1第二节一阶系统性能分析系统输入信号导数的输出响应，等于该输入信号输出响应的导数；根据一种典型信号的响应，就可推知于其它。根据一阶系统三种响应的输入输出信号:可知:c(t)=1-e-t/Tc(t)=t-T+Te-t/Tc(t)=e-t/TT1r(t)=1(t)r(t)=tr(t)=δ(t)例一阶系统的结构如图，试求系统的调节时间ts（±5%）；如果要求ts=0.1s，求反馈系数。KkS_R(s)E(s)C(s)KH设Kk=100KH=0.1解：系统闭环传递函数KkKH100/SФ(s)=C(s)R(s)=1+100•0.1/S10=0.1S+1得:ts=3T=3×0.1=0.3s若要求:ts=0.1s则:100/SФ(s)=C(s)R(s)=1+100•KH/S=(0.01/KH)S+11/KHT=0.01/KHKH=0.3ts=3T=3×0.01/KH=0.1s第二节一阶系统性能分析返回第三章时域分析法第三节二阶系统时域分析一、二阶系统的数学模型二、二阶系统的单位阶跃响应五、改善二阶系统性能的措施三、二阶系统的性能指标四、带零点二阶系统的单位阶跃响应二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统的典型结构:ω2n_R(s)C(s)S(S+2ωn)ξ—阻尼比—无阻尼自然振荡频率n2ωn2ωnζS2+2S+ωФ(s)=C(s)R(s)=ζωn一、二阶系统的数学模型第三节二阶系统性能分析n2ωn2ωnζS2+2S+ω==S2+RS/L+1/LC1/LCG(s)=LCS2+RCS+11=Uc(s)Ur(s)例如：RLC电路的传递函数为得：二阶系统的参数与标准式的参数之间有着对应的关系。求出标准形式的动态性能指标与其参数间的关系，便可求得任何二阶系统的动态性能指标。nωζ2=R/Ln2=1/LCωωn=1/LCζ=RC2L第三节二阶系统性能分析ζ值不同，单位阶跃响应的形式不相同。ωn2ωnζ(S2+2S+ωn2)SC(s)=Ф(s)R(s)=ωnωζS2+2S+n2=0ωnωζS1.2=-±n2-1ζ二、二阶系统的单位阶跃响应第三节二阶系统性能分析1.ζ1过阻尼两个不相等的负实数根拉氏反变换ωnωζS1.2=-±n2-1ζA1=SS-S1++A2A3S-S2C(s)=S(S-S1)(S-S2)ωnc(t)=A1+A2es1t+A3es2t系统输出随时间单调上升，无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值1。第三节二阶系统性能分析过阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01ζ1第三节二阶系统性能分析2.ζ=1临界阻尼输出响应:两个相等的负实数根S1.2=-nωC(s)=ωn2ωn(S+)2S1=S1-ωnωn(S+)2ωnS+-nωc(t)=1-enω-t(1+t)输出响应无振荡和超调。ζ=1时系统的响应速度比ζ1时快。第三节二阶系统性能分析临界阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01ζ=1第三节二阶系统性能分析3.0ζ1欠阻尼ωnωζS1.2=-±n2-1ζ两个复数根令：ωd1-ζ2ωn=—阻尼振荡频率ωnjωζS1.2=-±d则：单位阶跃响应：ωn2ωnζ(S2+2S+ωn2)SC(s)=ωn2ωnζ(S+S+ωd2)2=•1ωnζ(S+S+ωd2)2=+1nζ-(S+ω)ωnζ(S+S+ωd2)2=1nζS+ωωnζ(S++ωd2)2-nζω-dωdω拉氏反变换：ωdc(t)=1-sinωdte-ζωntcosωdt-ζωne-ζωnt[=1-sinωdt]e-ζωntcosωdt+ζ1-ζ21-ζ2系统参数间的关系:S1S2jωσ1-ζ2ωnωn1-ζ2-ωn-ζωnβ0COSβ=ζ1-ζ2Sinβ=1-ζ2β=tg-1ζ单位阶跃响应:c(t)=1-1-ζ2[sinβcosωdt+cosβsinωdt]e-ζωnt=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e-ζωnt第三节二阶系统性能分析欠阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01ζ1第三节二阶系统性能分析4.ζ=0无阻尼单位阶跃响应:单位阶跃响应曲线S1.2=±jnωC(s)=ωn2ωn(S2+2)SωnS2+21=SS-nωc(t)=1-costc(t)t01ζ=0第三节二阶系统性能分析从以上结果可知:ζ值越大，系统的平稳性越好；ζ值越小，输出响应振荡越强。不同ζ值时系统的单位阶跃响应c(t)t01ζ=1ζ1ζ1ζ=0第三节二阶系统性能分析C(s)S2+S+44R(s)=例3-3已知二阶系统的闭环传递函数,求系统的单位阶跃响应.解：2ζωn=1ωn2=4ωn=2ζ=0.25可知ζωn=0.5ωd=1.91-ζ2β=tg-1ζ=75o得：=1-1.03e-0.5tsim(1.9t+75o)将参数代入公式:c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)etn第三节二阶系统性能分析欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线tc(t)01trtpσ%tsess主要性能指标有性能指标求取如下三、二阶系统的性能指标第三节二阶系统性能分析1-ζ2Sin(ωdtr+β)=0e-ζωntrc(tr)=1-1-ζ2Sin(ωdtr+β)=1e-ζωntr1.上升时间tr即根据定义有Sin(ωdtr+β)=0ωdtr+β=0,π,2π…则tr=π-βωdπ-β1-ζ2ωn=得:其中β=tg-11-ζ2ζ第三节二阶系统性能分析2.峰值时间tp根据定义有dc(tp)dt=0c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)etn-11-ζ2dc(tp)dt=sin(ωdtp+β)[-ζωne-ζωntpcos(ωdtp+β)]=0+ωde-ζωntp=0即则=ζcos(ωdtp+β)sin(ωdtp+β)1-ζ2tg(ωdtp+β)=tgβsin(ωdtp+β)]-ωnecos(ωdtp+β)1-ζ2=[-ζωntp1-ζ2-ζωnsin(ωdtp+β)=0cos(ωdtp+β)1-ζ2-ζωnωdtp=0,π,2π…1-ζ2πtp=ωdωn=π第三节二阶系统性能分析3.超调量σ%πtp=ωdc(t)=1-1-ζ2sin(ωdtp+β)e-ζωntpsin+β1-ζ2e1-ζ2-ζπ/=1-sin(π+β)1-ζ2e1-ζ2-ζπ/-ζ-ζ=1+将公式代入1-ζ2-ζπ/c(tp)=1+e100%=c(tp)-11σ%=c(tp)-c(∞)c(∞)100%1-ζ2-ζπ/=e100%第三节二阶系统性能分析4.调节时间ts求取调节时间可用近似公式：(±5%误差带)(±2%误差带)当ζ大于上述值时，可用近似公式计算：ζtp=3T=ωn3ζ0.68ζtp=4T=ωn4ζ0.766.45ζ-1.7ts=ωn1第三节二阶系统性能分析5.稳态误差ess根据稳态误差的定义和终值定理有t→∞ess=lime(t)=limSE(s)s→0欠阻尼二阶系统的稳态误差:R(s)=1SG(s)H(s)=ωn2ωnζS(S+2)ess=limSR(s)1+G(s)H(s)s→0=0第三节二阶系统性能分析由以上分析归纳出二阶系统性能分析要点：主要由ζ决定。综合考虑系统的平稳性和快速性，一般取ζ=0.707为最佳。即ζ太小或太大,快速性均变差.1）平稳性：ζ↑→σ%↓→平稳性越好,ζ=0时,系统等幅振荡,不能稳定工作.ζ一定时ωn↑→ωd↑,系统平稳性变差.2）快速性：由ζ和决定。ωnωn一定时,若ζ较小,则ζ↓→ts↑,当ζ0.707之后又有ζ↑→ts↑,3）准确性：ζ的增加和ωn的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪斜坡信号的稳态误差增加。由ζ和ωn决定。第三节二阶系统性能分析例已知系统的闭环传递函数，当K=2,K=4时，求系统的单位阶跃响应和σ%,ts。Ф(s)=S2+3S+KK解：（1）K=2Ф(s)=S2+3S+22ωn=2ζ=1.061得C(s)=2S(S+1)(S+2)1=S2S+11S+2-+单位阶跃响应c(t)=1-2e-t+e-2t系统性能指标ts=3T1=3（2）K=4Ф(s)=S2+3S+44n=2ωζ=0.751c(t)=1-1-ζ2sin(ωdt+β)e-ζωnt=1-1.5e-1.5tsin(1.32t+41.4o)单位阶跃响应系统性能指标ts=nωζ4=2.67σ%=e1-ζ2-ζπ/100%=2.8%第三节二阶系统性能分析系统的时域响应曲线c(t)t01第三节二阶系统性能分析KS(S+34.5)_Θr(s)Θc(s)例已知随动系统的结构如图，试计算在不同参数下，系统的动态性能指标。K=1000,K=7500,K=150。解：闭环传递函数Ф(s)=S2+34.5S+KK（1）K=1000Ф(s)=S2+34.5S+10001000n=31.6ωζ=0.545nωζ2=34.5n2=1000ωtp=ωn1-ζ2π=0.12ts=nωζ3=0.17σ%=e1-ζ2-ζπ/100%=13%（2）K=7500n=86.2ωζ=0.2tp=0.037ts=0.17σ%=52.7%（3）K=150n=12.25ωζ=1.41Ф(s)=150(S+5.1)(S+29.4)T