第1节 建立数学模型

主讲教师丰全东联系方式[e-mail]62338357教材与参考资料1姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版).高等教育出版社，2005重印2萧树铁.数学实验，高等教育出版社.3Matlab使用手册退出前一页后一页学习要求按时上课，遵守课堂纪律.作业、考勤等是平时成绩的依据作业按要求完成。学习目标掌握一些数学建模方法；知道数学实验作用和常用方法；初步掌握科技论文写作。平时成绩30%退出前一页后一页第1章建立数学模型1.1引言2004年春.MCM竞赛题之一：人的指纹是否惟一？1.2数学模型概念数学模型是对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的，根据特有的内在规律,做出必要的简化假设，运用适当的数学工具建立的一个数学结构.退出前一页后一页现实世界数学世界建立数学模型推理演绎求解翻译为实际解答实际解答：如对现实对象的分析、预报、决策、控制等结果。始于现实世界并终于现实世界退出前一页后一页1.3数学建模的基本方法*机理分析法根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律.建立的模型常有明确的物理或现实意义*测试分析法将研究对象视为一个内部机理无法直接寻求的“黑箱”系统.黑箱系统输出y(t)输入x(t)求y=y(x)建立输出和输入间的关系测量系统的输入、输出数据，对其运用统计分析或进行数据拟合.退出前一页后一页*计算机模拟借助于计算机的快速运算，对实际研究对象的属性或变量进行模拟。计算机模拟可视为对研究对象进行的“实验”或“观察”注：计算机模拟技术成为三大科研方法之一1.4数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型检验模型分析模型求解模型应用退出前一页后一页例1甲、乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需要30h，从乙到甲逆水航行需要50h，问船速、水速各是多少？解法一：水速=(750/30-750/50)/2=(25-15)/2=5km/h船速=(750/30+750/50)/2=(25+15)/2=20km/h解法二：设船速、水速分别为x、y公里/小时,顺水航行a小时，逆水航行b小时,两地相距d公里(x+y)·a=d,(x-y)·b=d解得：x=d(1/a-1/b)/2,y=x=d(1/a+1/b)/2代入数据得：x=20km/h,y=5km/h模型假设模型构成模型检验模型求解模型应用退出前一页后一页例1.3稳定的椅子将一张四条腿一样长的方桌放在不平的地面上,问是否总能设法使它的四条腿同时着地？*1地面为连续曲面.（在Oxyz坐标系中，地面可用一个连续二元函数z=z(x,y)表示）*2相对于地面的弯曲程度,方桌的腿足够长.*3将与地面的接触看成几何上的点接触.假设退出前一页后一页建模绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心O点旋转，转动角度记为θ.OABCDA'C'θ退出前一页后一页引进函数变量：f(θ)—A、C两腿到地面的距离之和；g(θ)—B、D两腿到地面的距离之和；由假设*1，f(θ)、g(θ)都是连续函数，由*2方桌腿足够长，至少有三条腿总能同时着地，故有f(θ)g(θ)=0，θ∈[0，2π]不妨设f(0)=0、g(0)＞0，方桌问题归结为数学问题：退出前一页后一页已知f(θ)和g(θ)都是连续函数；f(0)=0、g(0)＞0，且对任意θ，都有f(θ)g(θ)=0，求证：存在θ0，使得f(θ0)=g(θ0)=0.分析:当θ=π/2时,即AC和BD互换位置,故有f(π/2)＞0，g(π/2)=0令h(θ)=f(θ)－g(θ)，则有h(0)＜0，h(π/2)＞0，退出前一页后一页因h(θ)在[0,π/2]上连续，根据闭区间上连续函数的介值定理，存在θ0∈[0,π/2]，使f(θ0)=g(θ0)因对任意θ有,f(θ)g(θ)=0f(θ0)g(θ0)=0f(θ0)=g(θ0)=0h(θ0)=f(θ0)－g(θ0)=0退出前一页后一页1.5模型的特点模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性退出前一页后一页1.6模型的分类按照建立模型的数学方法分为：初等模型几何模型运筹学模型微分方程模型概率统计模型