ch3复变函数积分

第三章复变函数的积分目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数§1复变函数积分的概念1.积分的定义定义和在局部弧段上任意取点,极限为A终点为B的一条光滑的有向曲线.设函数w=f(z)定义在区域D内,()kkfznk10lim都存在且唯一，则称此极限为函数Cfzdz()记作沿曲线弧C的积分.()fzABCkkz1kzkz若对C的任意分割C为在区域D内起点xyo目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数关于定义的说明:()dCfzz()dbafzz(4)一般不能把写成的形式.()fz()dCfzz(1)用表示沿着曲线C的负向的积分.()d.Cfzz()fz(2)沿着闭曲线C的积分记作()(),fzux(3)如果C是x轴上的区间,axb而则()d()d.bCafzzuxx目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数2.积分的性质CCzzfzzfd)(d)()iMzfCzfLC|)(|)(,)iv上满足在长度为设曲线CCCzzgzzfzzgzfd)(d)(d)]()([)iii)(;d)(d)()ii为常数kzzfkzzfkCCLMszfzzfCCd|)(|d)(则目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数例1.证明:证明其中C为正向圆周：利用积分估值性质，有目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数2.积分存在的条件及计算法定理:C的参数方程为()()()zztxtiyt,:t则曲线积分存在,且有连续,在有向光滑弧C上有定义且设函数Cfzdz()CCudxvdyivdxudyfztztt[()]()d{[(),()][(),()]}uxtytivxtytxtiytdt{()()}Cuivdxidy()()目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数例2.解:计算oyx的正向圆周，为整数.其中C为以中心，为半径目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数例3.解:Red,Czz(1)积分路径的参数方程为()(01),zttittRe,d(1)d,ztzit于是RedCzz10(1)dtit1(1);2i计算其中C为:(1)从原点到点1+i的直线段;(2)从原点沿x轴到点1,再到点1+i的折线段;i1oyx1目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数i1(2)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为()(01),zttt1到1+i直线段的参数方程为()1(01),ztittRe,dd,ztzt于是Re1,dd,zzit于是RedCzz10dtt101dit1.2ioyx1目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数例4.解:d,Czz(1)积分路径的参数方程为()(01),zttittd(1)d,zit于是dCzz10()(1)dtititi计算其中C为:(1)从原点到点1+i的直线段;(2)从原点沿x轴到点1,再到点1+i的折线段;i1oyx1目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数i1(2)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为()(01),zttt1到1+i直线段的参数方程为()1(01),ztittdd,zt于是dd,zit于是dCzz10dtt10(1)ditit12oyx112ii目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数§2柯西定理.0d)(CzzfB内处处解析,定理1任何一条封闭曲线C的积分则f(z)在B内(黎曼证明，把条件加强：假设连续.)()fz证明：假设在单连通域B内,解析,连续.BC1.柯西定理如果函数f(z)在单连通域为零:目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数因为(),xxyyfzuivviu所以在B内连续，且满足C-R条件.任取B内闭曲线C,则积分由格林公式得所以.0d)(Czzf目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数.0d)(Czzf函数f(z)处处解析定理2在单连通域B内，()ABfzdz与路径无关.BC函数f(z)定理3B为C的内部，C为一条封闭曲线,在B内解析，在上连续，BBC则.0d)(Czzf目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数解：11d.23zzz123z由柯西定理,有11d0.23zzz1z计算积分例1.因为函数在内解析，目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数2121d.(1)zizzz211111,(1)2zzzzizi1z2121d(1)zizzz1211111d22zizzzizi12zi解：由柯西定理,有计算积分因为函数都在上解析，例2.和1zi目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数11122211111ddd22zizizizzzzzizi01211d2zizzi122i.i目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数Bxyo2.原函数与不定积分如果函数f(z)在单连通域定理4与路径无关.B内处处解析,Czzfd)(则积分定理5处处解析,如果f(z)在单连通域B内则函数F'(z)=f(z)必为B内的一个解析函数,并且0z()zFzfzdz()0zz目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数利用导数的定义来证.BzK证：为中心以z.KB内的小圆作一含于充分取z)()(zFzzFzzzzzff00d)(d)(,)(的定义由zF,内在小使Kzz由于积分与路线无关,0()dzzzf0zz先取到，的积分路线可,zzz沿直线到然后从于是zz0z,内任一点为设Bz目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数0())dd(zzzzzff()()FzzFz0()dzzf,d)(zzzfzzzzfd)(因为zzzzfd)(,)(zzf)()()(zfzzFzzF所以)(d)(1zffzzzzd)]()([1zffzzzz目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数(),fzD因为在内解析(),fzD所以在内连续,0,0故的一切使得满足z,时即z,)()(zff总有由积分的估值性质,,内都在K)()()(zfzzFzzFd)]()([1zffzzzz目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数)()()(zfzzFzzFd)]()([1zffzzzzszffzzzzd|)()(|1.1zz,0)()()(lim0zfzzFzzFz于是).()(zfzF即[证毕]目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数定义1如果在区域B内在区域B内的原函数.F'(z)=f(z),则称F(z)为f(z)在区域B上的原函数全体不定积分,记作定义2FxC()fxdx()在B上的称为定理610zzfzdz()如果f(z)在单连通域B内处处解析,的一个原函数,则这里z0,z1为域B内的两点.G(z)为f(z)10GzGz()(),目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数例3.解:计算积分目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数3.复合闭路定理定理71i)()d()d,;knkkCCfzzfzzCC与均取正方向是在C内部的简单闭曲线,且设C为多连通域D内的互不包含也互不相交,另外以C,C1,C2,...,Cn为边界的区域ii0fzdz)(),如果f(z)在D内解析,则一条简单闭曲线,C1,C2,...,CnD1CC2C1nCCC全含于D.目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数证明：这样区域D就被分为D1和D2两考虑只有两条围线C0,C1的情况.区域，作辅助线段L1和L2连接C0,和C1，D0C1C域,而且f(z)在内解析,12DD和由柯西积分定理，有,1()0,Dfzdz2()0,Dfzdz所以12()0,DDfzdz1L2L2D1D显然D1和D2都是单连通目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数12011212DDCCLLLL而+，所以12()DDfzdz01()()CCfzdzfzdz11()()LLfzdzfzdz即01()()0,CCfzdzfzdz或01()().CCfzdzfzdz22()()0LLfzdzfzdzD0C1C1L2L2D1D目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数例4.解:计算oyx的正向简单闭曲线.包含圆周为奇点.在C内作互不相交，互不包含的只包含只包含其中C为圆周由复合闭路定理，得目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数oyx目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数例5.解:计算其中C为正向圆周：目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数xyo121C2C解:,21围成一个圆环域和CC,处处解析在此圆环域和其边界上函数zez圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,,dzzez例6.计算积分其中为正向圆周2z和负向圆周组成.1z.0dzzez目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数0012CzizCzzd,00CfzzzCzz()d?D0zC思考100()()CCfzfzdzdzzzzzR1C？02()ifz目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数§3柯西公式定理1如果f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,则0012Cfzfzzizz()()dDC0z1.柯西公式目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数证明：0()().fzfz0,0,当00zz时，由于f(z)在连续，0z所以在C内部作圆周0:,KzzR那么00()()CKfzfzdzdzzzzz0000()()()KKfzfzfzdzdzzzzz000()()2()KfzfzifzdzzzDC0zR目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数0000()()()()KKfzfzfzfzdzdszzzz而2KdsR即00()()0Kfzfzdzzz001()()2Cfzfzdzizz所以目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数注：1）柯西公式常写作00()2()Cfzdzifzzz2）0:,iCzzRe若则20001()()2ifzfzRed平均值公式目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数例1.解:计算其中C为(1)正向圆周：(3)正向圆周：(2)正向圆周：(1)(2)(3)目录上页下页返回结束工程数学---------复变函数(1),:1;izCedzCzizi2||2(2)(5)()zzdzzzi求下列积分的值.1(1)izziedzzi解：22izziiee