CH4 平面几何名题欣赏

CH4平面几何名题欣赏§4.1几个著名定理几个著名定理梅涅劳斯定理塞瓦定理托勒密定理斯特瓦尔特定理西姆松定理张角定理蝴蝶定理九点圆定理四心共线定理1、梅涅劳斯定理,,,,,,,1.1ABCABCBCCAABABCBACBACACBACB定理1设分别是的边所在直线上的点即三点中或一点或三点在边的延长线上则共线的充要条件是:1*注上述定理中,若采用有向线段,则式右边为1;2定理中的必要性即为梅涅劳斯定理,充分性即为梅涅劳斯定理的逆定理;3.n梅涅劳斯定理可以推广到平面凸四边形、四面体乃至维欧氏空间中去ABCABC,,,,,,,sinsinsin1.1sinsinsinABCABCBCCAABABCBAAACCCBBAACCCBBBA定理1的角元形式设分别是的边所在直线上的点即三点中或一点或三点在边的延长线上则共线的充要条件是ABCABCsin.sinABAAACSBAABBAAACSACAAC证明sin,sinCBBCCBBBAABBBA同理sin.sinACACACCCBBCCCB,11.以上三式相乘应用式即得式2、塞瓦定理2,,,,,,1.2ABCABCBCCAABAA,BBCCBACBACACBACB定理设分别是的边所在直线上的点即三点中或三点或一点在边上则三直线共点或平行的充要条件是ABCABC1ABCABCO21注定理的必要性即为塞瓦定理,充分性即为塞瓦定理的逆定理;2塞瓦定理中的三线共点可以推广为两两相交;3.塞瓦定理可以推广到四面体中去2,,,,,,,sinsinsin1.2sinsinsinABCABCBCCAABAABBCCBAAACCCBBAACCCBBBA定理的角元形式设分别是的边所在直线上的点即三点中或一点或三点在边上则三直线共点或平行的充要条件是ABCABC1ABCABCO2111111111111,,,,,,,1.2ABCABCBCCAABBACBACAABBCCACBACB推论设分别是的外接圆三段弧上的点则共点的充要条件是111111,,,,ABCRAABCABBCABCCABCACBACB证明设的外接圆半径为交于交于交于由、、、、、六点共圆及正弦定理有11112sinsin.2sinsinBARBAABAAACRAACAAC11sin,sinCBCBBBABBA同理11sin.sinACACCCBCCB,22.以上三式相乘应用式即得式ABC1A1B1CABC3、托勒密定理3.ABCDABCDADBCACBD定理凸四边形内接于圆的充要条件是ABCD1注定理的必要性即为托勒密定理,充分性即为托勒密定理的逆定理;2,;ABCDABCDBCADACBD从充分性证明可知,对于任意四边形均成立托勒密不等式:3,,:,,sinsinsin;BDDCBCABACADABCADADCABACBAD由托勒密定理,应用正弦定理将换掉即得如下三弦定理是一圆上顺次的三条弦,则5托勒密定理可以推到直线上去,也可以推到空间四边形中去.12,;3,,:,,sinABCDABCDBCADACBDBDDCBCABACADABCABAD注定理的必要性即为托勒密定理,充分性即为托勒密定理的逆定理;从充分性证明可知,对于任意四边形均成立托勒密不等式:由托勒密定理,应用正弦定理将换掉即得如下三弦定理是一圆上顺次的三条弦,则sinsin;4:sinsincoscossin;CABACBAD由托勒密定理可导出三角中的加法定理4、斯特瓦尔特定理2224,,,,,,,.BPCAABAPACBPCPCBPAPABACBPPCBCBC定理设依次分别为从点引出的三条射线上的点共线的充要条件是　ABCP1注定理的必要性即为斯特瓦尔特定理,充分性即为斯特瓦尔特定理的逆定理.1注定理的必要性即为斯特瓦尔特定理,充分性即为斯特瓦尔特定理的逆定理.斯特瓦尔特定理还有如下一系列有趣的推论:22a.,;ABACAPABBPPC若则2222b.,111;224PBCAPABACBC若为中点则2c.,;APBACAPABACBPPC若平分则2d.,;APBACAPBPPCABAC若平分的外角则2斯特瓦尔特定理可以推广到四面体中去.5、西姆松定理5定理三角形外一点在三角形外接圆上的充要条件是该点在三角形三边所在直线上的射影共线.ABCPLMN1注定理的必要性即为西姆松定理,充分性即为西姆松定理的逆定理.西姆松定理将三点共线与四点共圆紧密联系起来.2西姆松定理中的垂线可改为等角斜线.3,P对点也可以推广对圆内接多边形也可以推广.6,,,180,sinsinsin.BPCAABAPACBPPCABPCAPACAB定理设、、依次分别为从点引出的三条射线、、上的点线段对点的张角分别为、且则、、共线的充要条件是ABCPABCABPAPCBPCSSS证、、三点共线111sinsinsin222ABACABAPAPACsinsinsin.APACAB1注定理的必要性即为张角定理,充分性即为张角定理的逆定理;2张角定理可以推广到四面体中去;3由张角定理可以导出斯特瓦尔特定理,反之亦可.7,,.ABCDEFOMCFDEABPQMABMPQ定理设、、是交于内一点的三条不同的弦、交于、两点则平分的充要条件是平分OABCDEFMPQ,ACAFBDBE证连、、、,,,ACMBDMAFMBEMCFMDEM由有,,.BDMDBEMBEDMEACMAAFMFFCMCMCFBDEACFMDESSMPBQAPMQSS由MCFBCABDEBEAMDEBEABCAACFSSSSSSSSMFMCBDEDBEAEABBCMEMDABAEBCACAFCFMFMCBDBEEDMEMDACAFCFMFMCMDMBMEMEMDMAMFMC.MBMAMPMQMAMBAPBQ从而MPMQAMBM.MPMQ1注定理的必要性即为蝴蝶定理,充分性即为蝴蝶定理的逆定理;2蝴蝶定理的证法很多.7,,.ABCDEFOMCFDEABPQMABMPQ定理设、、是交于内一点的三条不同的弦、交于、两点则平分的充要条件是平分OABCDEFMPQ8,.定理任意三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线的中点这九点共圆ABCDEFHLMNPQR,.ADBECFABCHLMNBCCAABPQRAHBHCH证设、、为的高,垂心为、、分别是、、的中点,、、分别为、、的中点11,,,22.NMQRBCNQMRAHAHBCNQRM由而故为矩形,.QLMP同理为矩形,,,.QMLPNR于是是同一个圆的三条直径,故有六点共圆90.PDLD又,故点在此圆上.E,F同理在此圆上.故九点共圆三角形的外心、垂心、重心、九点圆圆心共线;且九点圆圆心在外心与垂心连线的中点,重心在外心与垂心的四心共线定理三分点处.§4.2几个著名不等式几个著名不等式波利亚——蔡戈不等式埃道什——莫迪尔不等式外森比克不等式和芬斯勒——哈德维格不等式纽堡——匹多不等式2331-14ABCa,b,cSSabc波利亚——蔡戈Polya-Szego不设的三边边长及面等式积分别为和,则.1-1式的证明见波利亚和蔡戈著《数学分析中的问题和定理》一书.21-13.1-236Sabc由式,运用三个正数的算术—几何平均值不等式,则可推出三角形的等周不等式:2331-14ABCa,b,cSSabc波利亚——蔡戈Polya-Szego不设的三边边长及面等式积分别为和,则.121-1.,,,,.1-316ABCDABCDABCDabcdSABCDSabcdSabac式也可推广到四边形中去若设和分别表示四边形的各边长及面积则.1-4adbcbdcd1-3198761-419884式的证明见《数学通讯》陈计的文章;式的证明见《数学通讯》苏化明的文章.2331-14ABCa,b,cSSabc波利亚——蔡戈Polya-Szego不设的三边边长及面等式积分别为和,则.12626311-1.,,,6,,,3.1-524iiaaaABCDRVVaR式还可推广到四面体中去若设为四面体的条棱长其外接球半径为体积为则16211.1-672iiVa1-5198161-6198412式的证明见《数学通报》杨路的文章;式的证明见《数学通报》赵何成的文章.,,,,,2.2-1PABCPBCCAABPDPEPFPAPBPCPDPEPF埃道什——莫迪尔Erdos-Mor设为内部或边上一点,到三边的距离分dell不等式别为则121212231112-1.3,,,,,,,,,sec.2-nnnnniiiinPnAAAPBPBPBPnAAAAAAPAPBn式也可推广到凸多边形中去设点为凸边形内的任意一点分别为点到条边的距离则212111,sec.2-2nnniiiiiiiPAPBn而且对任意正数序列,,,,都有2-22-219848式与的证明见《数学通讯》简超的文章.,,,,,2.2-1PABCPBCCAABPDPEPFPAPBPCPDPEPF埃道什——莫迪尔Erdos-Mor设为内部或边上一点,到三边的距离分dell不等式别为则2222222-1,,,,,2-3sinsinsin2,ABCabcPaPAbPBcPCabcPAAPBBPCCS类似于式,有如下优美的不等式:设的三边长为为平面上任一点则或2-3.PABC其中等号当且仅当为的内心时取得121221122-3198892-3:4:sin2,2-4.nnniiAAAinnAAAPAASAAAnP式的证明见《数学通讯》刘健的文章.该文还将式推广到当的凸多边形中去其中等号当且仅当为正边形且为其中心时取得222++43,3-1.ABCa,b,cSabcSABC外森比设的边长及面积分别为和,则其中等号当且仅当为正三角形克不等时取得式12,19923-124苏化明在《数学竞赛》第辑湖南教育出版社年中另给出了式的注种证法.1232221231223312313123-1,,,,,,4,3-2::::ABCabcSabcSabc单墫教授在《几何不等式》一书中介绍了式的下述加权推广:设的边长和面积分别为和对任意正数有其中等号当且仅当时取得.222++43,3-1.ABCa,b,cSabcSABC外森比设的边长及面积分别为和,则其中等号当且仅当为正三角形克不等时取得式222222++43,3-3.ABCa,b,cSabcSabbccaABC设的边长及面积分别为和,则其中等号芬斯勒——哈当且仅