复数的四则运算练习题(文理通用)

1．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于[来源:Z_xx_k.Com][来源:学科网ZXXK]()．A．0B．2iC．6D．6－2i解析z＝3－i－(i－3)＝6－2i.答案D2．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是()．A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析根据复数加(减)法的几何意义，知以OA→，OB→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．答案B3．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．答案B4．若z1＝2－i，z2＝－12＋2i，则z1，z2在复平面上所对应的点为Z1、Z2，这两点之间的距离为________．解析|Z1Z2→|＝2＋122＋－1－2＝612.[来源:学科网]答案6125．已知z1＝32a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝43，则a＋b＝________.解析∵z1－z2＝32a＋(a＋1)i－[－33b＋(b＋2)i]＝32a＋33b＋(a－b－1)i＝43，由复数相等的条件知32a＋33b＝43，a－b－1＝0，解得a＝2，b＝1.∴a＋b＝3.答案36．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω.解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1＋3i)z＝a－3b＋(3a＋b)i，由题意得a＝3b≠0.∵|ω|＝z2＋i＝52，∴|z|＝a2＋b2＝510，将a＝3b代入上式，得a＝15，b＝5，或a＝－15，b＝－5.故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)．综合提高限时25分钟7．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为()．A．0B．1C.22D.12解析由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离．[来源:Zxxk.Com]答案C8．复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2等于()．A．10B．25C．100D．200解析根据复数加减法的几何意义，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以OM1→、OM2→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M1OM2为直角，M是斜边M1M2的中点，∵|OM→|＝42＋32＝5，∴|M1M2|＝10.∴|z1|2＋|z2|2＝|OM1→|2＋|OM2→|2＝|M1M2→|2＝100.答案C9．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋a2i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．[来源:学科网ZXXK]解析因为OA→＋OC→＝OB→，所以2＋a2i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以2－b＝－2a，a2＋a＝3，得a－b＝－4.答案－410．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为________．解析方程|z－4i|＝|z＋2|表示线段Z1Z2(Z1(0,4)、Z2(－2,0))的中垂线，易求其方程为x＋2y＝3.∴2x＋4y＝2x＋22y≥22x·22y＝22x＋2y＝223＝42.当且仅当2x＝22y，即x＝2y且x＋2y＝3，即x＝32，y＝34时取到最小值42.答案4211．设m∈R，复数z1＝m2＋mm＋2＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．解因为z1＝m2＋mm＋2＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，所以z1＋z2＝m2＋mm＋2－2＋[(m－15)＋m(m－3)]i＝m2－m－4m＋2＋(m2－2m－15)i.因为z1＋z2是虚数，所以m2－2m－15≠0且m≠－2，所以m≠5且m≠－3且m≠－2，所以m的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．12．设z1、z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|.解法一设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又由(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0.|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝2.法二∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)，∴将已知数值代入，可得|z1－z2|2＝2，∴|z1－z2|＝2.法三作出z1、z2对应的向量OZ1→、OZ2→，使OZ1→＋OZ2→＝OZ→.∵|z1|＝|z2|＝1，又OZ1→、OZ2→不共线(若OZ1→、OZ2→共线，则|z1＋z2|＝2或0与题设矛盾)，∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形．又∵|z1＋z2|＝2，∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，故|z1－z2|＝2.1．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于()．A．20＋15iB．20－15iC．－20－15iD．－20＋15i[来源:Z+xx+k.Com]解析(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(3＋4i－6i＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i＋4i＋2＝－20＋15i.答案D2．(1＋i)20－(1－i)20的值是()．A．－1024B．1024C．0D．512解析(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.答案C3.－1＋33＋6＋－2＋i1＋2i的值是()．A．0B．1C．iD．2i解析原式＝－1＋33＋2]3＋－2＋＋＝2×－1＋3i233＋－2＋－2＋i＝－1i＋i＝2i，故选D.答案D4．设复数z＝1＋2i，则z2－2z＝________.解析∵z＝1＋2i∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋2i)(1＋2i－2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3.答案－35．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为________．解析z1z2＝a＋2i3－4i＝a＋＋9＋16＝3a＋4ai＋6i－825[来源:Z,xx,k.Com]＝a－＋a＋25，∴3a－8＝0，4a＋6≠0，∴a＝83.答案836．计算(1)1＋i1－i6＋2＋3i3－2i；(2)12＋32i4.解(1)原式＝i6＋2＋33－2＝i2＋2＋32＋3i[来源:Z.xx.k.Com]＝－1＋i.(2)法一原式＝12＋32i22＝－12＋32i2＝－12－32i.法二∵－12－32i3＝1，∴原式＝－12－32i4＝－12－32i3－12－32i＝－12－32i.综合提高限时25分钟7．复数z满足(1＋2i)z－＝4＋3i，那么z＝()．A．2＋iB．2－iC．1＋2iD．1－2i解析z－＝4＋3i1＋2i＝4＋3i1－2i1＋2i1－2i＝15(10－5i)＝2－i，∴z＝2＋i.答案A8．若x＝1－3i2，那么1x2－x＝()．A．－2B．－1C．1＋3iD．1解析∵x2－x＝x(x－1)＝1－3i2.1－3i2－1＝1－3i2·－1－3i2＝－14(1－3i)(1＋3i)＝－1，所以1x2－x＝－1，故选B.答案B9．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．①|z－z|＝2y；②z2＝x2＋y2；③|z－z|≥2x；④|z|≤|x|＋|y|.解析∵z＝x－yi(x，y∈R)，|z－z|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，∴①不正确；对于②，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；∵|z－z|＝|2y|≥2x不一定成立，∴③不正确；对于④，|z|＝x2＋y2≤|x|＋|y|，故④正确．答案④10．设f(z＋i)＝1－z－，z1＝1＋i，z2＝1－i，则f1z1＋1z2＝________.解析令z＋i＝t，得z＝t－i，f(t)＝1－(t－i)＝1－i－t－，1z1＋1z2＝11＋i＋11－i＝1－i＋1＋i＋－＝22＝1.∴f1z1＋1z2＝f(1)＝1－i－1＝－i.答案－i11．复数z＝＋2＋－2＋i，若z2＋az0，求纯虚数a.解由z2＋az0可知z2＋az是实数且为负数．z＝＋2＋－2＋i＝2i＋3－3i2＋i＝3－i2＋i＝1－i.∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则z2＋az＝(1－i)2＋mi1－i＝－2i＋mi－m2＝－m2＋m2－2i0，[来源:Zxxk.Com]∴－m20，m2－2＝0，∴m＝4，∴a＝4i.12．复数z＝＋3a＋b1－i且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，z－对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a、b的值．解z＝＋2＋1－i(a＋bi)＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.由|z|＝4，得a2＋b2＝4，①∵复数0，z，z－对应的点构成正三角形，∴|z－z－|＝|z|.把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②又∵z对应的点在第一象限，[来源:学。科。网]∴a0，b0.由①②得a＝－3，b＝－1.故所求值为a＝－3，b＝－1