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1.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于[来源:Z_xx_k.Com][来源:学科网ZXXK]().A.0B.2iC.6D.6-2i解析z=3-i-(i-3)=6-2i.答案D2.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是().A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析根据复数加(减)法的几何意义,知以OA→,OB→为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.答案B3.已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,实部小于零,虚部大于零,故位于第二象限.答案B4.若z1=2-i,z2=-12+2i,则z1,z2在复平面上所对应的点为Z1、Z2,这两点之间的距离为________.解析|Z1Z2→|=2+122+-1-2=612.[来源:学科网]答案6125.已知z1=32a+(a+1)i,z2=-33b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=43,则a+b=________.解析∵z1-z2=32a+(a+1)i-[-33b+(b+2)i]=32a+33b+(a-b-1)i=43,由复数相等的条件知32a+33b=43,a-b-1=0,解得a=2,b=1.∴a+b=3.答案36.已知z,ω为复数,(1+3i)z为纯虚数,ω=z2+i,且|ω|=52,求ω.解设z=a+bi(a,b∈R),则(1+3i)z=a-3b+(3a+b)i,由题意得a=3b≠0.∵|ω|=z2+i=52,∴|z|=a2+b2=510,将a=3b代入上式,得a=15,b=5,或a=-15,b=-5.故ω=±15+5i2+i=±(7-i).综合提高限时25分钟7.设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为().A.0B.1C.22D.12解析由|z+1|=|z-i|知,在复平面内,复数z对应的点的轨迹是以(-1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线,即直线y=-x,而|z+i|表示直线y=-x上的点到点(0,-1)的距离,其最小值等于点(0,-1)到直线y=-x的距离.[来源:Zxxk.Com]答案C8.复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2,且|z1+z2|=|z1-z2|,线段M1M2的中点M对应的复数为4+3i,则|z1|2+|z2|2等于().A.10B.25C.100D.200解析根据复数加减法的几何意义,由|z1+z2|=|z1-z2|知,以OM1→、OM2→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等),即∠M1OM2为直角,M是斜边M1M2的中点,∵|OM→|=42+32=5,∴|M1M2|=10.∴|z1|2+|z2|2=|OM1→|2+|OM2→|2=|M1M2→|2=100.答案C9.在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为zO=0,zA=2+a2i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,则实数a-b为________.[来源:学科网ZXXK]解析因为OA→+OC→=OB→,所以2+a2i+(-b+ai)=-2a+3i,所以2-b=-2a,a2+a=3,得a-b=-4.答案-410.复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为________.解析方程|z-4i|=|z+2|表示线段Z1Z2(Z1(0,4)、Z2(-2,0))的中垂线,易求其方程为x+2y=3.∴2x+4y=2x+22y≥22x·22y=22x+2y=223=42.当且仅当2x=22y,即x=2y且x+2y=3,即x=32,y=34时取到最小值42.答案4211.设m∈R,复数z1=m2+mm+2+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,若z1+z2是虚数,求m的取值范围.解因为z1=m2+mm+2+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,所以z1+z2=m2+mm+2-2+[(m-15)+m(m-3)]i=m2-m-4m+2+(m2-2m-15)i.因为z1+z2是虚数,所以m2-2m-15≠0且m≠-2,所以m≠5且m≠-3且m≠-2,所以m的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,5)∪(5,+∞).12.设z1、z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=2,求|z1-z2|.解法一设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),由题设知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2,又由(a+c)2+(b+d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2,可得2ac+2bd=0.|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-(2ac+2bd)=2,∴|z1-z2|=2.法二∵|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2),∴将已知数值代入,可得|z1-z2|2=2,∴|z1-z2|=2.法三作出z1、z2对应的向量OZ1→、OZ2→,使OZ1→+OZ2→=OZ→.∵|z1|=|z2|=1,又OZ1→、OZ2→不共线(若OZ1→、OZ2→共线,则|z1+z2|=2或0与题设矛盾),∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形.又∵|z1+z2|=2,∴∠Z1OZ2=90°,即四边形OZ1ZZ2为正方形,故|z1-z2|=2.1.(1-2i)(3+4i)(-2+i)等于().A.20+15iB.20-15iC.-20-15iD.-20+15i[来源:Z+xx+k.Com]解析(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(3+4i-6i+8)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-22+11i+4i+2=-20+15i.答案D2.(1+i)20-(1-i)20的值是().A.-1024B.1024C.0D.512解析(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.答案C3.-1+33+6+-2+i1+2i的值是().A.0B.1C.iD.2i解析原式=-1+33+2]3+-2++=2×-1+3i233+-2+-2+i=-1i+i=2i,故选D.答案D4.设复数z=1+2i,则z2-2z=________.解析∵z=1+2i∴z2-2z=z(z-2)=(1+2i)(1+2i-2)=(1+2i)(-1+2i)=-3.答案-35.若z1=a+2i,z2=3-4i,且z1z2为纯虚数,则实数a的值为________.解析z1z2=a+2i3-4i=a++9+16=3a+4ai+6i-825[来源:Z,xx,k.Com]=a-+a+25,∴3a-8=0,4a+6≠0,∴a=83.答案836.计算(1)1+i1-i6+2+3i3-2i;(2)12+32i4.解(1)原式=i6+2+33-2=i2+2+32+3i[来源:Z.xx.k.Com]=-1+i.(2)法一原式=12+32i22=-12+32i2=-12-32i.法二∵-12-32i3=1,∴原式=-12-32i4=-12-32i3-12-32i=-12-32i.综合提高限时25分钟7.复数z满足(1+2i)z-=4+3i,那么z=().A.2+iB.2-iC.1+2iD.1-2i解析z-=4+3i1+2i=4+3i1-2i1+2i1-2i=15(10-5i)=2-i,∴z=2+i.答案A8.若x=1-3i2,那么1x2-x=().A.-2B.-1C.1+3iD.1解析∵x2-x=x(x-1)=1-3i2.1-3i2-1=1-3i2·-1-3i2=-14(1-3i)(1+3i)=-1,所以1x2-x=-1,故选B.答案B9.对任意复数z=x+yi(x,y∈R),i为虚数单位,则下列结论正确的是________.①|z-z|=2y;②z2=x2+y2;③|z-z|≥2x;④|z|≤|x|+|y|.解析∵z=x-yi(x,y∈R),|z-z|=|x+yi-x+yi|=|2yi|=|2y|,∴①不正确;对于②,z2=x2-y2+2xyi,故不正确;∵|z-z|=|2y|≥2x不一定成立,∴③不正确;对于④,|z|=x2+y2≤|x|+|y|,故④正确.答案④10.设f(z+i)=1-z-,z1=1+i,z2=1-i,则f1z1+1z2=________.解析令z+i=t,得z=t-i,f(t)=1-(t-i)=1-i-t-,1z1+1z2=11+i+11-i=1-i+1+i+-=22=1.∴f1z1+1z2=f(1)=1-i-1=-i.答案-i11.复数z=+2+-2+i,若z2+az0,求纯虚数a.解由z2+az0可知z2+az是实数且为负数.z=+2+-2+i=2i+3-3i2+i=3-i2+i=1-i.∵a为纯虚数,∴设a=mi(m≠0),则z2+az=(1-i)2+mi1-i=-2i+mi-m2=-m2+m2-2i0,[来源:Zxxk.Com]∴-m20,m2-2=0,∴m=4,∴a=4i.12.复数z=+3a+b1-i且|z|=4,z对应的点在第一象限,若复数0,z,z-对应的点是正三角形的三个顶点,求实数a、b的值.解z=+2+1-i(a+bi)=2i·i(a+bi)=-2a-2bi.由|z|=4,得a2+b2=4,①∵复数0,z,z-对应的点构成正三角形,∴|z-z-|=|z|.把z=-2a-2bi代入化简得|b|=1.②又∵z对应的点在第一象限,[来源:学。科。网]∴a0,b0.由①②得a=-3,b=-1.故所求值为a=-3,b=-1
本文标题:复数的四则运算练习题(文理通用)
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