大工线性代数期末试卷

线性代数往年期末试卷【含完整答案的新版本】（包含2004、2005、2007、2008、2009、2011、2012年份试题）【答案全且准确率高】优印堂打印店(B19-503-5)QQ:741819941大连理工大学课程名称：线性代数与解析几何试卷：A考试形式：闭卷授课院（系）：应用数学系考试日期：2008年1月8日试卷共6页一二三四五六七八九总分标准分2010810121461010100得分注：1.E表示单位阵，A表示A的行列式，()rA表示A的秩，1A−表示A的逆阵，TA表示A的转置矩阵，()trA表示A的迹。一.填空题（每题2分，共20分）。1.设A为三阶方阵，其列分块阵为[]123Aaaa=，，，=2A，则12233=aaaa+，，2.设A为四阶方阵，=1A−，则12=AA−∗+3.设从向量空间V的基底123,,uuu，到基底123,,vvv，的过渡矩阵为200012013，则从基底123,,vvv到基底123,,uuu的过度矩阵为4.已知31220221Ak−−=−−的特征值λ对应的特征向量为120，则k=，λ=5.若方阵A已知，且满足220AAE−+=，则()13AE−+=6.Oxy面上的曲线25yx+=−绕x轴旋转所得的旋转面方程为7.已知三个平面)3,2,1(0:1==+++iDzCyBxAiiiiπ,记111222333ABCAABCABC=，111122223333ABCDBABCDABCD=，则三平面交于一条直线的充要条件是()rA和()rB满足__________8.设3阶方阵A满足()()()22rEArEArEA+=−=+=，则3AE+=9.设A为n×s型矩阵，B是秩为k的n×k型矩阵，且存在矩阵P使得BAP=，则()rP=__________二.(10分)求向量组11111a−=，22111a=−，34113a−=，43112a=−，53223a−=的秩，求其一个极大无关组，并求出其余向量所求极大无关组线性表示的表达式。三.（8分）设301121012A=−，123021C=，并且2ABBC=+，求矩阵B。四.（10分）（1）设123,,aaa为线性无关向量组，数k使得1223314,,aaaaaka+−+线性无关，确定k的取值范围（2）设二次型212322213212)21(),,(xaxxaxaxxxxf+−++=是正定的，确定a的取值范围五.（12分）1.k取何值时，方程组=−+=++−=−+kkxxxxkxxkxxkx32132132111（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？若存在无穷多解时，求方程组的通解。六.已知矩阵311040113A=−，=244B相似，求可逆阵P使得1PAPB−=七.选择题（10分）。1.设A，B为同阶非零实对称阵，则（）A.AB是实对称阵B.AB≠0C.ABBA=D.AB的特征值都是实数2.如果方阵0A≠，那么（）A.若ABAC=，则BC=B.()1rA≥C.0A≠D.A可逆3.一个矩阵A为正交阵的充要条件是（）A.TTAAAAE==B.A的行向量组是标准正交向量组C.TAAE=D.A的列向量组是正交向量组4.若可逆变换xPy=将二次型()TfxxAx=化为二次型()TgyyBy=，则（）不正确A.TPAPB=B.()()=rArBC.0AB≥D.1PAPB−=5.如果4阶实方阵A满足()=2rA，则（）A.方程组0Ax∗=的基础解系含有两个向量B.()2rA∗=C.方程组0Ax∗=的解空间是4RD.A∗可以是可逆矩阵八.（10分）1.若实对称阵A满足2AE=，0A，证明AkE+为正定矩阵的充分必要条件是k1。2.设1p是n×n型方程组0Ax=的一个非零解向量，若存在一组向量12,,sppp，满足()1,2,,iiAppis−==，证明向量组12,,sppp线性无关。2008年期末参考答案一、1.62.-13.1002032011−−4.-1，15.414AE−−6.225yzx++=（5改为-5）7.()()=2rArB=889.k二、解：设()123451243311112=,,,,1111211323Aaaaaa−−−=−−21214112433033410334101110rrrrrr+−−→−−−−−−−3224312433000110000001110rrrr++→−−−()44223112433011100001100000rrrrr⋅−↔↔→121323210202011010001100000rrrrrr−−−−→12345,,,,aaaaa∴的秩为3，其中一个极大无关组为124,,aaa31251242,2aaaaaaa=+=−+三、2ABBC=+()2AEBC−=1012101010AE−=−()101122,0113001021AEC−=−−→−−→−+−110001201012001110000311021101312323rrrrrr2121R∴=四、（1）设()()123122331,,,4,,AaaaBaaaaaka==+−+则BAP=，其中4011011011001101101104004000000000kPkk−−=→→−−−A线性无关，要使B线性无关，则()3rP=，4k∴≠（2）设15.00))(5.0(||0||0||5.000010,),,(23221321⇒−−=−==∴−==aaaaAaaAaAaaaaAAxxxxxfT为正定其中五、设11111,111kkAkbkk−−==−()1321312211111,1110111112111rrrrrkrkkkkAbkkkkkkkkkk↔−−−−−=→−−−−−−−−（矩阵左下角的2改为0）322211011100rrkkkkkkkk+−→−+−+−1.当2200kkk+≠−≠且时，即01kk≠≠±且时，有唯一解2.当=1k±时，无解3.当=0k时，有无穷多解。()123101111011,1011011111010111rrrrAb↔−−−=→−−−−32101101110000rr−→−−132311xxxx=−+=−∴Axb=的通解为111110α−+−六、由题意A与B相似，∴A的特征值为：2)(421==λλ，二重当14λλ==时，()0EAx−=【E的前面加系数λ】的基础解系为：P1=（1,1,0）T;P2=(1,0,1)T当22λλ==时，()0EAx−=【改错同上】的基础解系为：P3=(1,0,1)T令()123,,PPPP=，则111100011P=−七、1.C2.B3.A4.D5.C八、1.22,101AEAAA==∴=−且，设A的特征值为1nλλ2A的特征值为2iλ211,1,1inAλλλλ∴==±==−∴iλ不全为1，存在-1必要性：AkE+的特征值为kλ+，AkE+为正定矩阵，0,1Akkkλ∴+∴−即注意：【A+k0中的A改为λ】充分性：10,kkAkEλ∴+∴+，为正定阵。2.110iiAPAPP−==，令存在1sxx，使11220ssxPxPxP+++=两边左乘A得：11220ssxAPxAPxAP+++=，213210ssxPxPxP−+++=两边左乘A得：213210ssxAPxAPxAP−+++=，314220ssxPxPxP−+++=以此类推：415230ssxPxPxP−+++=，110,0sxPP=≠，0sx∴=又由：1120ssxPxP−+=，10sx−∴=以此类推：110ssxxx−===，12,,SPPP∴线性无关。大连理工大学课程名称：线性代数与解析几何试卷：A考试形式：闭卷授课院（系）：数学科学学院考试日期：2007年1月11日试卷共6页一二三四五六七八总分标准分28128121210810100得分一.填空题（每题4分，共28分）。1.设三阶方阵A的行列式()det2A=−，则1A−的行列式()1detA−=，kA的行列式()detkA=2.设=201110211A，011121112B=，则TAB=3.过点()1,1,1，且垂直于直线311234xyz−−−==−的平面方程为4.已知三元向量()21111,,Tabb=，()22221,,Tabb=，()23331,,Tabb=线性相关，则()1,2,3ibi=应满足条件5.已知3R的一组基为()11,1,1Ta=−，()20,1,1Ta=，()31,0,1Ta=−−，则向量()2,1,3Ta=在基123,,aaa下的坐标向量为6.设A与−200030003相似，则2AE+的行列式()2detAE+=7.球面2229xyz++=与平面1xz+=的交线在OXY面上的投影方程为二.（8分）求向量组()11,0,0,1Ta=，()20,1,1,0Ta=，()32,3,3,2Ta=，()42,1,2,0Ta=的秩及一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示。三.（12分）设(),,Tuxyz=，()111,,Tvxyz=，()()()222,,8fxyzkxyzxyyzzx=++−++1.用正交变换=uQv将(),,fxyz化成的标准型2.若(),,fxyz为正定二次型，求k的取值范围四.（12分）设矩阵=302121001A1.求出可逆矩阵P，使1PAP−为对称阵，并写出此对称阵；2.计算kA。五.单项选择题（每题2分，共10分）。1.设二次多项式()fx有下列行列式确定()1123122323152329xfxx−=−【第四排9-x的前面的2改成1】则()0fx=的根为（）A.-1，2B.-1，-2C.1，4D.1，-12.设n（n≥3）阶矩阵A的伴随矩阵0A∗≠，且A的行列式()det0A=，则A，A∗的秩分别为（）A.()()1,1rAnrAn∗=−=−B.()(),2rAnrA∗==C.()()1,1rAnrA∗=−=D.()()1,0rAnrA∗=−=3.下列说法正确的是（）A.若矩阵AB与A的秩相等，即()()rABrA=，则B可逆B.若矩阵A经初等行变换化为B，则A的行向量组的极大无关组与B的行向量组的极大无关组一一对应C.若矩阵A经初等行变换化为B，则A的列向量组的极大无关组与B的列向量组的极大无关组一一对应D.若矩阵A与B的秩相等，即()()rArB=，则A的行向量与B的行向量组等价4.已知123,,ηηη是0Ax=的基础解系，则此方程组的基础解系还可选用（）A.122331,,ηηηηηη−−−B.与123,,ηηη等价的向量组C.与123,,ηηη等秩的向量组D.122331,,ηηηηηη+++5.设A是三阶方阵，将A的第一行和第二行对换得到的矩阵记为B，再将B的第二行加到第三行上得到矩阵C，则满足QA=C的可逆矩阵Q=（）。A.010101001