2_偏微分方程数值解法引论

主要内容（一）引论、准备知识有限差分方法基本概念双曲型方程的差分方法抛物型方程有限差分方法椭圆型方程的差分方法有限差分方法数学物理方程的变分原理有限元离散方法有限元方法的误差估计（了解）有限元方法主要内容（二）Ch1引论准备知识（一）典型方程常微分方程（ODE)偏微分方程(PDE)联系着自变量,未知函数及其导数(微分)的方程,称为微分方程.:未知函数是一元函数分类偏微分方程partialdifferentialequation:未知函数是多元函数已知函数称为u的梯度算子梯度,散度和Laplace算子称为Laplace算子=▽·▽u12(,,,)nuuuu称为u的散度算子0.1uLaplace方程）（为给定的函数。其中方程)(),(),()(.2xfxuuxfuPoisson给定。其中（波动方程）),(),,().,(.3222txFtxuutxFuatu2(,),(,).uauFxtuuxtt其中,(,,).uuabuFuuxyxkyutt其中,(,),(,).uuaFuuxtFFxttx其中4.扩散、传热方程5.对流扩散方程(n=2)6.对流方程(n=1)222444222242240,().22.uuuxnxyxxyy其中，（）31311238.1,1,2,30(,,)方程（动量守恒）（质量守恒）其中，表示速度，表示粘滞系数iikikkikkkNavierStokesuupuuitxxuxuuuu7.重调和方程（二）定解问题1.边界条件定解条件初始条件2.定解问题方程定解条件//CauchyDrichletNumannRobin初值问题（问题）定解问题边值问题（）混合问题解关于定解条件（原始资料或自由项）稳定定解问题适定（解存在，唯一，稳定）第一边值问题（Dirichlet）第二边值问题（Neumann）第三边值问题（Robin）((,)(,)(,))(,),(,)uxyxyuxyxyxyn(,)(,),(,)uxyxyxyn(,)(,),(,)uxyxyxy考虑两个自变量的二阶偏微分方程222222uuuuuabcdefugxxyyxy,,,,,,abcdefg线性:是x,y的二元函数;拟线性:的函数;,,,,,,abcdefg,,,,uuxyuxy是对于二阶线性偏微分方程222222uuuuuabcdefugxxyyxy常系数线性PDE:否则称为变系数的．齐次线性PDE:否则称为非齐次的．,,,,,abcdef都是常数．0g则ytysyxtxsxtusuutusuu,按特征方程分类作变换),(),(tsyytsxx逆变换为),(),(yxttyxssxxtxxttxtsxxsxxstxssxxtuttususustusuu)()(xxtxxsxttxxstxsstusutustusu22202gfueuducubuauyxyyxyxx考虑二阶线性方程（1）yytyyttytsyysyystyssyytuttususustusuu)()(yytyysyttyystysstusutustusu222xytxyttytsxysxystyssxytuttususustusuu)()(xytxysyxttyxyxstyxsstusuttusttsussu)(将ytysyxtxsxtusuutusuu,yytyysyttyystyssyytusutustusuu222xytxysyxttyxyxstyxssxytusuttusttsussuu)(xxtxxsxttxxstxssxxtusutustusuu222代入方程（1）整理得其中22222)(2yyxxyyyxyxxxyyxxcttbtatCtcssttsbtasBcssbsasAab2c02GFuEuDuCuBuAutsttstss（2）gGfFetdtctbtatEesdscsbsasDyxyyxyxxyxyyxyxx22令ts,为方程0222yyxxczzbzaz的两个特解，则有0,0CA则方程（2）可简化为02GFuEuDuButsst其中22222)(2yyxxyyyxyxxxyyxxcttbtatCtcssttsbtasBcssbsasA由0222yyxxczzbzaz令),(yxzy常数，表示是的函数。x则有yxyxzzdxdydxdyzz0022czzbzzayxyx得（3）方程（4）称为方程（1）的特征方程，方程（4）的解从而有022cdxdybdxdya（4）)(xyy称为方程（1）的特征曲线。如果将),(yxz常数则特征方程022cdxdybdxdya为参数表示为)()(21yx可化为0)(')('2)(')('12212cba即0)(')(')('2)('211222cba见6页对于二阶线性偏微分方程222222uuuuuabcdefugxxyyxy则特征方程为022cdxdybdxdya由特征方程022cdxdybdxdya得aacbbaacbbdxdyaacbbaacbbdxdy222224422442当2000bac称方程（1）为双曲型称方程（1）为抛物型称方程（1）为椭圆型椭圆型PDE:20bac抛物型PDE:双曲型PDE:20bac20bac2222:0uuxy例22:uufxy例2222:uufxy例222222uuuuuabcdefugxxyyxy课堂练习2222222(1)2(1)220uuuuuxxyyxyxxyyxy1)是否为线性PDE2)若是,为哪种类型的PDE(椭圆,抛物,双曲)?是221xy椭圆型PDE221xy抛物型PDE221xy双曲型PDE222222uuuuuabcdefugxxyyxy2,,11,nnijiijiijiuuabcufxxx有关n个自变量的二阶拟线性偏微分方程,1,,,,iijniabcfxuuxx其中，和与，关于一阶方程组0022222211112111byubxubbyubxub（1）2),(Rtx设（1）考虑二维一阶方程组其中2,1),,,,(2,1,),,,,(2121iuuyxbbjiuuyxbbiiijij方程组（1）为拟线性0022222211112111byubxubbyubxub将如果2,1),,(2,1,),,(iyxbbjiyxbbiiijij方程组（1）为线性表示为00222222212121112111bbxubbyubbxubbyu记为0022221111hxuayuhxuayu其中2,1,221ibbhbbaiiiiii（2）2,1),,,,(2,1,),,,,(2121iuuyxbbjiuuyxbbiiijij方程组（2）为拟线性2,1),,(2,1,),,(iyxbbjiyxbbiiijij方程组（2）为线性对于方程组（2）0022221111hxuayuhxuayu记2121,hhhaaAxuxuxuyuyuyuTT2121,,,则方程组（2）可表示为0hxuAyu（2）多维一阶方程组方程组001111pppphxuayuhxuayu（3）hhhTp,,1见8页可表示为（4）0hxuAyuxuxuxuyuyuyuTpTp,,,,,11其中同理其中paaaA21A没有实特征向量，方程组（3）称为椭圆型；有p个线性无关的实特征向量，方程组（3）称为双曲型；A有p个相异实特征值，方程组（3）称为严格双曲型；A见8页如果yx,见9页满足关系cyxz),(（任意常数）y表示是的函数。x则有0xxyyzdydyzzdxdxz代入方程0izzyx101xyiiizdyzdxdydx得其中为矩阵的特征值；iA方程为方程组（4）的特征方程；0dxdyi为方程组（4）解的特征曲线；cyxz),(如果将见9页cyxz),(为参数表示为12()()xsyss则特征方程idxdy1化为2112'()1'(')'()()0iissss),(txuu设例00axuatu一维对流方程为aaA)(一维对流方程为严格双曲型特征方程为0adtdx特征曲线为catx（任意常数）(,)(,0)uxtuxatC方程沿特征曲线的解0duuuauCdttx则沿特征曲线00iizzdydxyx对于定解问题RxxgxuatRxxuatu)()0,(0,0,0得方程的解为(,)(,0)()()uxtuxatgxatgcCtxOcatx),(00tx)0,(00atx见10页。全确定了第一象限内边界条件和初始条件完走向的定的：由特征线则以上初边值问题是适正半轴给定边界条件，正半轴给定初始条件，),(,,0txuatxtxatxOcatx),(00tx)0,(00atx000,0,0,0|(),0,|(),0,txuuaxtatxugxxuxtCh2有限差分方法基本概念1、有限差分格式（网格剖分，建立格式）2、相容性、收敛性、稳定性3、研究稳定性的Fourier方法4、研究稳定性的其他方法见13页1、网格剖分求解区域：0,|),(1txtxDtjhnhx网格线,2,1,0,1,0nnttjjhxxnj时间步长空间步长h网格点、节点),(),(),(njnjhtxnj（1）双曲型方程、抛物型方程初值问题见13页（2）双曲型方程、抛物型方程初边值问题求解区域：0,0|),(2tlxtxD网格线0,1,2,,0,1,2,jnlxxjhhjJJttnn时间步长空间步长h网格点、节点),(),(),(njnjhtxnjjhnhtx见14页（3）