2018春中考数学《二次函数：平行四边形、菱形、正方形的存在性问题》

题型八二次函数综合题类型五平行四边形、菱形、正方形的存在性问题第二部分攻克题型得高分例如图，抛物线经过A(-5,0)，B(-1,0)，C(0,5)三点，顶点为M，连接AC，抛物线的对称轴为l，l与x轴交点为D，与AC的交点为E.（1）求抛物线的解析式、顶点坐标以及对称轴l；(1)【思维教练】典例精析解：由由拋物线过A(－5，0)，B(－1，0)可知，其对称轴l为x＝－3，设抛物线解析式为y＝a(x＋3)2＋h，分别将A(－5，0)，C(0，5)代入上式可得，解得∴抛物线解析式为y＝(x＋3)2－4＝x2＋6x＋5，顶点坐标为(－3，－4)．4095ahah14ah（2）设点P是直线l上一点，且PM＝CO，求点P的坐标；(2)【思维教练】例题图解：∵点C(0，5)，∴CO＝5，设点P的坐标为(-3，p)，如解图①，当点P在M点上方，则PM＝p－(-4)＝5，解得p＝1，此时点P的坐标为(-3，1)；当点P在M点下方，则PM＝-4－p＝5，解得p＝-9，此时点P的坐标为(-3，-9)．综上，这样的点P有两个，坐标分别为(-3，1)、(-3，-9)；例题解图①（3）设点G是抛物线上一点，过点G作GH⊥l于点H，是否存在点G，使得以A、B、G、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出点G的坐标，若不存在，请说明理由;(3)【思维教练】若要以点A、B、G、H构成的四边形为平行四边形，由图可得点G只能位于x轴以上部分的抛物线上，在对称轴两侧，会存在对称的两点，然后根据对边相等求解．解：存在．如解图②，∵点G在抛物线上，则设点G的坐标为(g，g2＋6g＋5)，∵GH∥x轴，点H在直线l：x＝-3上，∴点H(-3，g2＋6g＋5)．∵GH∥AB，要得到平行四边形，∴GH＝AB＝4，即|g＋3|＝4，解得g＝1或g＝-7，当g＝1时，g2＋6g＋5＝12，此时点G的坐标为(1，12)；当g＝-7时，g2＋6g＋5＝12，此时点G的坐标为(-7，12)．综上，这样的点G有两个，坐标分别为(1，12)、(-7，12)．例题解图②（4）设K是抛物线上一点,过K作KJ∥y轴,交直线AC于点J,是否存在点K使得以M、E、K、J为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出点K的坐标;若不存在,请说明理由；(4)【思维教练】解：存在，如解图③，设点K的坐标为(e，e2＋6e＋5)，∵KJ∥y轴，交直线AC于点J，直线AC的解析式为y＝x＋5，∴设点J的坐标为(e，e＋5)．∵M(-3，-4)，E(-3，2)，∴ME＝6.∵ME∥y轴，KJ∥y轴，∴KJ∥ME，要得到平行四边形，只需KJ＝ME＝6.(ⅰ)当点K在点J的下方时，KJ＝(e＋5)－(e2＋6e＋5)＝-e2－5e，则-e2－5e＝6，解得e1＝-2，e2＝-3，例题解图③则K1(-2，-3)或K2(-3，-4)，由于K2(-3，-4)与点M重合，此时不能构成平行四边形，故舍去；(ⅱ)当点K在点J的上方时，KJ＝(e2＋6e＋5)－(e＋5)＝e2＋5e，则e2＋5e＝6，解得e3＝-6，e4＝1，则K3(-6，5)、k4(1，12)．综上，这样的点K有三个，坐标分别为(-2，-3)、(-6，5)或(1，12)．（5）设点N是抛物线上一点,过点N作NS∥AC,交x轴于点S,是否存在点N,使得以A、E、N、S为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由；(5)【思维教练】2解：如解图④，过点N作NT⊥x轴，交x轴于点T，∵NS∥AE，∴∠NST＝∠EAD，∵NT⊥x轴，ED⊥x轴，∴∠NTS＝∠EDA＝90°，∵NS∥AE，要以点A、E、N、S为顶点的四边形是平行四边形，则NS＝AE，∴△SNT≌△AED，∴NT＝ED＝2.设点N的坐标为(n，n2＋6n＋5)，当点N在x轴上方，则NT＝n2＋6n＋5＝2，例题解图④解得n1＝-－3，n2＝－3，此时点N的坐标为N1(-－3，2)或N2(－3，2)；当点N在x轴下方，则NT＝-n2－6n－5＝2，解得n3＝-3＋，n4＝-3－，此时点N的坐标为N3(-3＋，-2)或N4(-3－，-2)．综上，这样的点N有4个，分别为：(-－3，2)，(－3，2)，(-3＋，-2)或(-3－，-2)．626666222622（6）设点Q是抛物线上一点,点R是任意一点,是否存在点Q，使得四边形AQCR是菱形,若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.(6)【思维教练】解：存在．如解图⑤，过点O作OI⊥AC交AC于点I.∵OA＝OC＝5，∴AI＝CI，∴OI是AC的垂直平分线，∵四边形AQCR是菱形，∴点Q、R在AC的垂直平分线上，∴点Q是直线OI与抛物线的交点．过点I作II′⊥x轴于点I′，则II′是△AOC的中位线，∴II′＝OC＝，I′O＝AO＝，∴点I的坐标为(-，)，例题解图⑤121252525252设直线OI的解析式为y＝tx，将点I的坐标代入，可得t＝-1，∴直线OI的解析式为y＝-x，与抛物线联立得，解得，，∴这样的Q有两个，坐标分别为(，)；(，)．265yxyxx1172927292xy2272927292xy7292729272927292