第4章 伯努利方程

4.1伯努利方程第四章伯努利方程伯努利（瑞典），1738，《流体动力学》——“流速增加，压强降低”4.1.1理想流体沿流线的伯努利方程1.伯努利方程的推导欧拉运动方程＋四个假设（1）定常流动（2）沿流线积分（3）质量力有势（4）不可压缩1）定常流场中的欧拉方程2）将上式沿流线积分可得到伯努利方程3）质量力有势4）对于不可压缩流体有＝常数5）质量力只有重力（1）理想流体欧拉运动方程（2）定常流动0tV（4）质量力有势zfyfxfzzUyyUxxUUzyxddddddd（5）不可压缩（3）沿流线积分zvxvyvxvvzvyvxxzxyzyxdddddddPPdd12.伯努利方程的意义（1）几何意义：用几何图形来表示各物理量之间的关系。表明：在流线上的总水头为一常数。（2）物理意义表明：在流线上的单位重量流体的总能量为一常数。因此说伯努利方程是能量转化和守恒定律在流体力学中的具体反映。z单位重量流体的重力势能位置水头pg单位重量流体的压强势能压力水头总机械能总水头物理意义几何意义单位重量流体的动能流速水头2gv2gpgvz22伯努利方程Cgpgvz22（位置水头）（压强水头）（速度水头）平面流场（忽略重力作用）Cpv＋22方程表明：沿流线速度和压强的变化是相互制约的，流速高的点上压强低，流速低的点上压强高。思考1.轿车高速行驶时，为何感觉车身变轻？4.1.2理想流体总流的伯努利方程动能修正系数AvAuA3321d21平均流速真实流速与速度分布有关，分布均匀为1；不均匀大于1。一般取1缓变流：流线间夹角很小，流线曲率很小，流线几乎是一些平行直线的流动。特性：（1）质量力只有重力；（2）同一缓变过流断面上，各点的静压水头相等。pzCg理想流体总流假设A1、A2是缓变流截面，对于微小流束：2211221222pupuzzgggg2211gdAugdAu通过断面1和2的能量222222112111gd)2(gd)2(21AugugpzAugugpzAA2222222211111111)(gd)()(gd)(21gAvgpzAugpzgAvgpzAugpzAA由动能修正系数定义2222222221121111212gd22gd221AvvAuguAvvAuguAA2211AvAvgvgpzgvgpz2222222211114.1.3.实际流体总流的伯努利方程fhgvgpzgvgpz222222221111能量损失或水头损失伯努利方程应用举例h01p0p0小孔出流1101zzhgvgpzgpz22110100ghv214.1.4相对运动的伯努利方程叶轮随体坐标系将坐标固结于旋转的叶轮上。r2叶轮的角速度为gfyfxfzyx,,22yfyfxfzzUyyUxxUUyyxdddddddgzugzrU2222121Cgugwgpz2222u：随叶轮旋转的牵连速度w：相对与叶轮的速度4.2伯努利方程在工程中的应用皮托管——测量流速沿流线B–A列伯努利方程：ABBppv22BBgHpAAgHpghppvBAB2)(2原理：测量时将静压孔和总压孔感受到的压强分别和差压计的两个入口相连，在差压计上可以读出总压和静压之差，从而求得被测点的流速。4.4文丘里流量计——测量管道中的流量结构：收缩段＋喉部＋扩张段测量原理：测量截面1和喉部截面2处的静压强差，根据测得的压强差和已知的管子截面积，应用伯努里方程和连续性方程，就可以求得流量。连续性方程：2121vAAv＝伯努利方程：22212122pvpv＋联立求解：])(1[)2221121AAppv（＝)(112ghpp1)/()1/2411dDghv（＝4.6动量积分方程和动量矩积分方程及其应用根据动量定理：流体系统的动量对时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力，即FvKVVttddddd由于外力有质量力和表面力之分，故上式右边的等式可写为SVVtSVVdddddnpvf得控制体的动量积分方程SVSvVtSVSnVddddnpvvf4.6.1动量积分方程4.6.2动量矩积分方程HF根据动量矩定理：流体系统对某点的动量矩对时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力对同一点的力矩，即FrvrHVVttdddddSVVtSVVdddddnprrvrf根据雷诺输运方程式可得控制体的动量矩积分方程SVSvVtSVSnVddddnprrvrvrf关于控制面（1）与问题有关的边界面；（2）已知物理量较多的面；（3）流面即流线组成的面（vn=0）两端截面垂直于流线（此时vn=v）在应用控制体的动量积分方程和动量矩积分方程时，还要注意如下几点：（1）方程是矢量式，为计算方便，要选择适宜的坐标系，以便于求出各项的投影值；（2）法向分量的正负号以控制面外法向为正，向内为负；（3）方程未知数较多时，可联立连续方程和伯努利方程求解；（4）控制面上的压力计算最好使用相对压强4.6.3动量积分方程和动量矩积分方程的应用app动量方程求解步骤:(1)建立坐标系,标出控制体(2)分析控制体所受到的力，表明控制面上各种参数(3)分析动量的变化(流出减流进,速度投影有正负)，列动量方程。4.6.3动量积分方程和动量矩积分方程的应用(a)(b)(c)水流对弯管的作用力1.水流对弯管的作用力动量方程为)()()(12222111vvnnFQAppAppaain1sincos2jinsin)(sincos)()()cos(222221112AppqvFAppAppvvqFayaax水流对弯管作用力的两个分量可写为固定此段弯管所需的外力为sin)(sincos)()()cos(222221112AppqvFAppAppvvqFayaax例求射流对斜置平板(单位厚度)的作用力F。设：流量为q，速度为v，来流方向与板的夹角为。解取控制体如图。因射流处于大气之中，射流中压强都近似等于大气压。又由伯努利方程知v1=v2=v。x方向动量方程：y方向动量方程：0cos2211qvvqvqFqv)sin(0由连续性条件q=q1+q2和x方向的动量方程还可以解出2.射流对平板和叶片的作用力012cos1qq022cos1qqsin)cos1(020020AvFAvFyxyv0FxFyxA0v0射流对固定叶片的作用图取控制体如图，射流速度为v0,过流断面为A0,应用动量方程有sin)()cos1()(020020AuvFAuvFyxyFxFyxA0v0v0-uuv0-u射流对运动叶片的作用采用固结于叶片上的运动坐标系,则在此动坐标系上观察到的流动是定常的取控制体如图,此控制体进出口截面上的速度应为相对速度(v0–u),过流断面为A0,应用动量方程有3.水流对喷嘴的作用力喷嘴)()(1211vvqAppFa)()(1211vvqAppFa由连续方程得)/1()(1222212AAAvvvq由伯努利方程appgvgpgvgp2222211,22得212221121AAvppa求出2v后代入动量方程得2111/121)(AAAppFa4.洒水器喷水器因此本问题的动量矩积分方程可写成02211rqvrqv02211rvrv设v为喷水的相对速度，则有2211rvvrvv)()(4)(2221221222121rrdrrqrrrrv