流体力学课件3

定义：任一时刻，若流场中各点的流体速度都平行于某一固定平面，并且流场中个物理量在此平面的垂直方向上没有变化，则表示这种流动为平面流动，或称平面问题。数学表示：若流体运动的平面为oxy平面，oz轴垂直于该平面，则对于平面流动则要求任一物理量f应满足：0zf且w=0在实际问题与自然现象中，并不存在严格的平面流动，但是当流动的物理量在某一方向（例z轴方向）的变化相对于其他方向上的变化为小量，而且此方向上的速度近似等于零时，则就可以简化为平面流动问题。推广应用：在某一方向求平均，把三维问题简化为二维问题。C.H.4平面问题4.1流函数的定义及其性质1.流函数的定义据数学分子中平面曲线积分与路径无关的性质可知，如果有P（x，y）和Q（x，y）两个函数，而且P、Q及均在闭区域及其边界上是单值连续的；若对于所有x，y，下等式成立：xQyP、xQyP则必存在一个由如下线积分定义的函数F（x，y）QdyPdxyxF),(该积分与路径无关，而且有如下关系：,FFPQxy流体力学中，不可压流体的平面连续方程为：yvxyvxu)(u0即便可定义一个函数udyvdxtyx),,(uyvx,称为流函数，在上述线积分时，t作为参数。),,(tyx极坐标下的不可压连续方程可定义流函数为：(,,),rrrtvdrvrdvrvr且：定义流函数条件：二维、不可压，2.流函数的一些性质1）可以差一任意常数，而不影响流体运动；2）等流函数线为流线vdyudx0udyvdxudyvdxydxxdconst0d不同的常数，便可得到不同的流线;反映的是流线族，故称为流函数。3）两点流函数值之差等于过此两点连线的单位厚度曲面流量constnvdludyvdx()()BBBBnAAAAQvdludyvdxdxdydBAyx4)与的关系kkyuxvkz2)(5）对于不可压平面无旋运动，等速度势线与等流函数线正交0,0yyxxxByAdxdydl4.2.复势与复速度1.复势与复速度的定义复势:对于不可压流体的平面无旋运动，存在速度势与流函数，且有0与均是调和函数。定义一个z的解析函数W(z)()WziW(z)与不可压、平面无旋运动一一对应。复速度：定义复速度——复势的导数：1()()dWWiuivdzxxxdWWiiuivdziyiyyyydWuivdz复速度的共轭为：dWuivdz复速度的模就是速度的绝对值22dWquvdz2.复势的几个性质1）W(z)可以差一任意常数而不影响流运动；2)()Wzconstconstconst3)lldWdzWdidiQdz实部：速度环流；虚部：流量4)在无源无汇的单连通区域内，W(z)是单值函数。4.3基本流动及组合原理W(z)与不可压、平面无旋运动一一对应；对流场的研究转化为对W(z)的研究。因为若已知W(z),流场的特性均可知道。先介绍具有基本意义的解析函数以及它们所对应的基本流动，然后据解析函数的可叠加性，将某些基本的解析函数进行叠加得到新的解析函数来研究较复杂一些的流动。1.基本流动1)均匀流动()WzUzuUv0dWUdz即：，W表示的是沿x轴的均匀流动，流速为U。()WUzUxiy因为：所以速度势与流函数分别为：UyUx,流线：constyconstUy即平行于轴的直线。xyo2)点涡旋设涡旋只在一点存在，除此以外流体均是无旋的，这种运动称作为点涡旋运动。0()ln()2iWzzz若点涡在原点，则复势为：若点涡在，则复势为：0z()ln2iWzz其中是点涡的强度由复势可得到与为：()lnlnln2222,ln22const,ooiiiWzzreirrrconstconstconst流线：以点为圆心的同心圆等势线：以点出发的射线10,;22rkvvkrrrr0,0v则流动沿逆时针方向0,0v则流动沿顺时针方向003)源与汇0()ln()2mWzzzm为源或汇的强度00212020cos,)()(xxyytgyyxxr()ln2imWzre用极坐标的形式表示速度势与流函数分别为：2,ln2mrm点出发的同心圆以等势线：点为圆心的射线以流线：00zz,constconstrconstconst1,02rmvvrrr速度分量为：0m0rv速度方向与同向，这时流体沿一族射线（流线）从不断向外流出，似乎源泉一样，所以这种流动成为点源。r0m0rv速度方向与反向，即向园心，这时流体沿流线流向一点，这种流动称作点汇。r0m0m4)任意拐角绕流1(),,2cos,sinnninnnWzAzAreAconstnArnArn流线：constnrnsin等势线：constnrncos零流线：n及0constyrsin即平行于x轴的直线，均匀流22222222cos2(cossin)()sin22sincos2ArArAxyArArAxy流线：constxy双曲线，零流线:x=0,y=0速度：AyyvAxxu2,2yx,vu,无穷远点为奇点:原点为驻点:0,yx0,vu3sin,3cos33ArArconstr3sin3零流线:30及3322()33(),6dWdAzAzdzdzuAxyvAxy2n3nN=1N=2N=32.基本流动的叠加任意两个或两个以上解析函数的线性叠加（组合）仍然是解析函数，所以两个或两个以上复势的线性组合仍能代表某一流场的复势，于是，可以利用简单的基本流动进行适当的线性组合来描述较复杂一些的流动1）偶极子定义：两个强度同样很大而又无限接近的源和汇构成的流场成为偶，或偶极子。设源在原点，汇在处，则其复势为：z23lnln()ln(1)22211()()2232mmmzWzzzzmzzzzzzmzziirezrez,()()112iimWreerrrm2如果zo在x轴上，则0iuWerzsin,cosrr0,sin22222cyyxconstyxyrrconst流线：等势线:02222cxyxcyxxconstsin1,cos22rrvrrvr速度：constconst2）圆柱绕流在偶极子的基础上，再叠加一个沿x轴的均匀流，这时流场复势应为：()WzUzziiUree(Ur)cosi(Ur)sinrrrWcos)rUr(,sin)rUr(const流线零流线0sin)r(Ur0sin,00rUrUr2若以零流线作为边界，便可得绕过半径为得圆柱体的均匀绕流;若柱体的半径用a表示，即U2aU)zaz(UUaz1Uzw22sin)rar(Ucos)rar(U22sin)1(1cos)1(2222raUrVraUrVr园柱面上，ar0,2sinrVVU可见，在绕圆柱流动中，沿圆柱体表面流体只有切向速度而无经向速度。0,,0,q称A,B点为驻点；,22qU最大222sinrqVVUABCD4.4平面壁镜像与圆定理1.平面壁镜缘1）y=0的平面壁缘（对称于轴）若在的域中存在若干源、汇、偶极子或其它奇点，其复势为f(z)，则在流场中插入y=0的平面壁后，在的域中，复势变为：0y0y()()()Wzfzfz其中是对f(z)中除z以外的复数取共轭。例设在z0处有一强度为m的点源，求地面(取x轴)对它影响。解已知不考虑地面时，点源的复势为：()fz0()ln()2mfzzz考虑地面后，据上面的公式可知复势应变为：00()()()ln()ln()22mmWzfzfzzzzz考虑地面后的复势相当于在的共轭点上z0放置了一同等强度的点源。0z0z2)X=0的平面壁像（对称于y轴）若在的域中存在若干源、汇、偶极子或其它奇点，其复势为f(z)，则在流场中插入x=0的平面壁后，在的域中，复势变为：0x0x()()()Wzfzfz式中表示对f(z)中除z以外的复数取共轭，并以-z代替z。()fz例设在z0处有一强度为m的点源，求放入壁面x=0后流场的复势。解已知插入壁面x=0以前的复势为：0()ln()2mfzzz插入壁面后的复势变为：000000()()()ln()ln()22ln()[ln()ln(1)]22ln()ln()22mmWzfzfzzzzzmmzzzzmmzzzz0z0z2.园柱面的镜像-园定理若f(z)为没有园柱边界时流场的复势，而且在中f(z)没有奇点，则在此流场中插入的不动园柱后，在园柱外的复势为：zaza2()()()aWzfzfz式中表示对f(z)中除z以外各复数值取共轭，并以取代z。2()afz2az例在均匀流场中，于处加上一园柱，求该园柱影响后的流场。解已知均匀流复势为：za()fzUz22()aafUzz据园定理，园柱影响后的复势为：222()()()aaaWfzfUzUUzzzzaoyx例在园柱外x=b处()有一强度为m的源，求考虑园柱后的复势。zaba解已知强度为m的源的复势为：()ln()2mfzzb22222()ln()ln()22ln()()ln()ln()22amamabzfbzzzmbamabzzzbbz据园定理，园柱影响后的复势为：22()()ln()ln()ln2amaWfzfzbzzzzabyx4.5保角变换方法对于理想不可压平面无旋流动的问题，可归结为寻求满足边界条件能反映流场的复势。对于较简单的边界，用前面介绍的方法便可求得复势，但当边界较复杂时，寻求复势较困难，再简单介绍一个利用复变函数这个数学工具即通过保角变换求复势的方法。基本思想：（1）通过一个解析变换，,把实际平面上较复杂的物面边界变成辅助平面上较简单形状的边界，即把复杂的不易求得的流场变成简单的易确定的流场。（2）确定实际平面及辅助平面上的对应关系（3）在辅助平面上，复势比较容易确定;于是利用上面的关系就可确定z平面上的W(z).该方法的关键在于导求适当的解析变换，将复杂的物面形状变成简单的物面形状。下面我们先介绍一个最有名的变换。()zf()[()]()WzWfW()zf24az222bac可证明，该变化是把平面上中心在圆点半径为的圆变成z平面上的椭圆，其中长、半轴分别为a、b。则上式的反演（取正号，使椭圆内变成圆内，椭圆外变成圆外）)(21ba221()2zzc就是把z平面上的半轴分别为a与b的椭圆外部区域变成平面上半径为的圆的外部区域)(21ba1、茹柯夫斯基变换2、椭圆柱绕流在z平面上有一以匀速U