化工设备机械基础(化机)1-2010年-弯曲

2020/2/151第四章直梁的弯曲第一节梁的弯曲实例与概念2020/2/1522020/2/1532020/2/154受力特点：力偶或垂直于轴线的外力作用在一个通过轴线平面内。变形特点：杆件的轴线（力偶或横向力）由直线变为曲线。弯曲变形梁平面弯曲把以弯曲为主要变形的杆称为梁。载荷作用在同一平面，并使梁的轴线在该平面内弯曲时称为平面弯曲。2020/2/155工程中的梁横截面一般都是对称的。平面弯曲外载荷作用在纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条平面曲线——挠曲线。PPP纵向对称面挠曲线2020/2/156悬臂梁外伸梁简支梁一、梁的计算简图:二、载荷的形式:qlPRARB2l2lABC2aaqP=qaABDRARB集中力AB集中力偶分布力CqPM梁的支座和载荷的简化2020/2/157第二节梁横截面上的两种内力—剪力和弯矩1、剪力和弯矩梁在外力作用下，内部将产生内力。为求出梁横截面1-1上的内力，假想沿1-1截面将梁截为两段，取其中一段（此处取左段）作为研究对象。在这段上作用的外力有支座约束反力。截面上的内力应与这些外力相平衡。由静力平衡方程判断截面上作用有沿截面的力Q，截面上还应有一个力偶M，以满足平衡方程，该力偶与外力对截面1-1形心O的力矩相平衡。0yF0OM2020/2/1582020/2/159一、截面法求内力—剪力Q和弯矩M0FmA0aPlRBlaPRB即lalPRA内力Q称为横截面上的剪力。内力偶M称为横截面上的弯矩。因此，梁弯曲时的内力包括剪力Q与弯矩M。运用静力平衡方程求图中1-1和2-2截面上的剪力和弯矩。2020/2/1510ARQ1剪力：11xRMA弯矩（内力偶矩）：，PRQA2axPxRMA2222020/2/1511二、内力符号规定：剪力符号:-Q+Q－Q剪力—截面一侧所有竖向分力的代数和;弯矩—截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。以某一截面为界，左右两段梁发生左上右下的相对错动时，该截面上剪力为正，反之为负。+Q∑F∑F左右∑F∑F左右2020/2/1512弯矩符号:+M-M+M-M左侧外力对截面之矩为顺时针时为正弯矩，逆时针时为负；∑M∑M∑M∑M右侧外力对截面之矩为逆时针时为正弯矩，顺时针时为负；2020/2/1513三、梁内力的简便求法——“外力简化法”剪力——截面一侧所有竖向分力的代数和；“左上右下为正”弯矩——截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和；“左顺右逆为正”1Q1MARx1P1ao11PRQA)(111axPxRMABR1Q1M2Pxloxa2BRPQ21)()(221xaPxlRMB+Q+M2020/2/1514例题：简支梁，求1-1，2-2截面上的内力ARBRm1m1m2Am5.1m311228PkN2qkNmB（1）求支反力RA、RB0,AM4223810BR5BRkN0yFRA–8–22+RB=0RA=7kN（2）求内力m1kNP8m5.1AR1Q1MQ1=RA–8；Q1=–1kNM1=RA1.5–80.5；M1=6.5kN.m2020/2/15152Q2Mm1m1kNP8mkNq2Am3ARm12Q2MmkNq2Bm1BRKNRQB3122mKNRMB45.01212mKNMqPRMA41223222KNQqPRQA3122ARBRm1m1m2Am5.1m311228PkN2qkNmB亦可取2-2截面的右侧研究2020/2/1516练习题练习题：试求1-1，2-2截面的弯曲内力。q=10kN/m200mm1122答案:1-1截面Q1=1.33kNM1=266N.m2-2截面Q2=0.67kNM2=322N.m200mm200mm2020/2/1517步骤：(1)求支反力(2)列剪力、弯矩方程描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化规律的方程．一、剪力方程Q(x)和弯矩方程M(x)：10AYQRP10()AmMRxPxaQM1PARxARBRyxmm1P2PiPnPABa0()0()0yFmAmB例如在m-m截面，画出正号内力，列出平衡方程)()(xMMxQQ第三节弯矩方程与弯矩图二、内力图—剪力图和弯矩图2020/2/1518写剪力方程和弯矩方程的要点：（1）分段表示，规则为：（2）区间表示，规则为：剪力方程：在集中力(包括约束反力)作用点、分布载荷的起点和终点处，要分段表示。弯矩方程：在集中力(包括约束反力)作用点、集中力偶(包括约束反力偶)作用点、分布载荷的起点和终点处，要分段表示。剪力：在集中力作用点要用开区间表示，在分布载荷的起点和终点处要用闭区间表示。弯矩：在集中力偶作用点要用开区间表示，其它点处要用闭区间表示。2020/2/1519例3-1简支梁受集度为q的均布荷载作用，画出此梁的剪力图和弯矩图。qlRRBA21222)(2)(2qxxqlxqxxRxMqxqlqxRxQAA2max81qlM2020/2/1520例3-2简支梁在C点处受集中荷载P作用，画出此梁的剪力图和弯矩图。lPbRlPaRAB)0()()0()(111111axxlPbxRxMaxlPbRxQAA)()()()()()(22222222lxaAxPxlPbaxPxRxMlxaPlaPRxQAA2020/2/1521例3-3简支梁在C处受一集中力偶mC的作用，画出剪力图和弯矩图。lmRRCBA)0()()0()(111111axxlmxRxMaxlmRxQCACA)()()()(222222lxamxlmmxRxMlxalmRxQCCCACA2020/2/1522)()()()()(22xqdxxdQdxxMdxQdxxdM剪力斜率：弯矩斜率：若梁上某段有均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。2dMxqLqxQxdx,dQxqdx22dMxqdx2020/2/1523)()()()()(22xqdxxdQdxxMdxQdxxdM剪力斜率：弯矩斜率：若梁上某段有集中力，则集中力作用处，剪力图有突变，突变值即为该处集中力的大小，弯矩图此处有折角。2020/2/1524)()()()()(22xqdxxdQdxxMdxQdxxdM剪力斜率：弯矩斜率：若梁上无均布荷载，剪力图为一平行于x轴水平线。集中力偶作用处剪力图无变化，弯矩图出现突变，突变的绝对值等于集中力偶的数值。2020/2/1525归纳)x(qdx)x(dQ①Q图曲线的切线斜率为q(x))x(Qdx)x(dM②M图曲线的切线斜率为Q(x))x(qdx)x(Md22③M图曲线的凹凸向与q(x)符号有关2020/2/15261、q(x)=0：一段梁上无均布荷载，剪力图为一平行于x轴水平线，弯矩图为一斜直线；2、q(x)=常数：一段梁上有均布荷载，剪力图为一斜直线，弯矩图为一条二次曲线，当均布荷载q(x)向下时，弯矩图凸向上，当均布荷载向上时，曲线凸向下；3、弯矩的极值：若梁的某一截面上的剪力Q(x)=0，则该截面的弯矩为一极值；4、集中力作用处：此处剪力图有突变，突变方向与集中力方向一致，突变绝对值等于集中力数值，弯矩图上形成尖角；5、集中力偶作用处：此处剪力图无变化，弯矩图出现突变，突变的绝对值等于集中力偶的数值。内力图的一些规律:2020/2/1527例3-4．外伸梁上均布荷载的集度为q=3kN/m,集中力偶矩m=3kN.m,画出剪力图和弯矩图。kNRkNRBA5.35.140aqRQAmqRaA83.4mkNqaaRMA04.621)2(2max2020/2/1528第四节弯曲时横截面上的正应力及其分布规律一、纯弯曲的变形特征2020/2/1529中性层现象：①mm,nn变形后仍为直线。②bb伸长，aa缩短；推断：①同层纤维变形相等(平面假设)；②中性层没有变形。变形后(小变形)m’m’MMn’a’b’n’a’b’o’o’nmxamnabb变形前ooyz中性轴z二、中性层的概念及性质:中性层中性轴2020/2/1530三、横截面上的正应力变形几何条件yLy物理条件：弹性范围内Eymaxmaxyymaxmaxyy2020/2/1531静力平衡：AAAdAyydAyyydAyM2maxmaxmaxmax2020/2/1532AdAyyM2maxmax横截面对中性轴z的惯性矩，单位为m4AzdAyJ2令：ZJyMmaxmaxZJyMmaxmaxZZWyJmax令：WZ称为抗弯截面模量，单位为m3。梁纯弯曲时横截面上的最大正应力的公式为：ZWMmax2020/2/1533四、横力弯曲以上有关纯弯曲的正应力的公式，对于横力弯曲的情形，如果是细长杆，也是近似适用。理论与实验结果都表明，由于剪应力的存在，梁的横截面在变形之后将不再保持平面，而是要发生翘曲，此时平面假设和各纵向纤维不互相挤压不成立。而对于细长梁，这种翘曲对正应力的影响是很小的。通常都可以忽略不计。均布载荷作用下的矩形截面简支梁，L/h5时，按纯弯曲正应力计算，误差1%。ZWMmax2020/2/15342020/2/1535第五节梁弯曲时的强度条件利用强度条件，可对梁进行强度校核、选择截面尺寸及确定许可荷载。ZWMmaxmax2020/2/1536例3-5容器四个耳座支架在四根各长2.4m的工字钢梁的中点上，工字钢再由四根混凝土柱支持。容器包括物料重110kN，工字钢为16号型钢，钢材弯曲许用应力[]=120MPa，试校核工字钢的强度。2020/2/1537kNP5.274110最大弯矩在梁的中间，为：mkNLPM.6.164.25.274141max由型钢表查得16号工字钢的Wz=141cm3MPaMPaWMZ12086.11710141105.1663maxmax2020/2/1538例3-6：选择工字钢型号。已知：MPa][mlkNP,kNP1706211521P2P1l/3l/3l/338M图(kN·m)（1）画弯矩图，确定maxM（2）计算Wz解：)cm()m(.MWmaxz333-63223102230101701038][19kN17kN（3）查表：3237cmWz计算值如果:Wz小于计算值，验算max，不超过[]的5%，工程上允许。选20a,2020/2/1539一、支撑和荷载的合理布置1.支撑的合理布置第六节提高梁弯曲强度的措施ZWMmaxmax2020/2/15402.载荷的合理布置2020/2/1541二、选择合理的截面形状ZWMmaxmaxhAbhWz61621bAhbWz616222020/2/1542材料远离中性轴AWZ矩形0.167h；圆形0.125h；环形0.205h工字钢和槽钢(0.27～0.31)h2020/2/1543等强度梁2020/2/1544第七节梁的弯曲变形一、梁的挠度和转角变形后梁的轴线称为弹性曲线或挠曲线挠度f梁的挠曲线方程f=f(x)转角θ)(xfdxdf2020/2/1545)(xfdxdfZEJxMdxfd)(22梁的抗弯刚度EJz二．梁的变形的求解直接积分法和叠加法2020/2/1546直接积分法边界条件和连续条件可求出C、DDCxdxxMfEIZ)(ZEJxMdxfd)(22CdxxMfEIZ)()(xMfEJZ2020/2/1547例3-6等截面悬臂梁的自由端作用一集中力，梁的抗弯刚度为EJz，求此梁的挠曲线方程以及自由端截面的转