第八章81乘幂法与反幂法

华长生制作1xAx方上述方程是一个非线性的特征向量为对应于的特征值为矩阵称.,xA0.....)det(111nnnncccAIx）（的充要条件是程组，它有非零解。个根，包括重根和复根有）（）为特征多项式。方程（称n0向量的计算。例如，中会遇到特征值和特征在很多科学与工程问题，满足（和非零函数题可描述为：求弹性薄膜的固有振动问),yxu。),(,0,),(,)(yxuyxuuuyyxxAnnx设为矩阵若有数和非零向量,使华长生制作2hyxyxyx的边界。若取为（为了简单，取,1,1:),题可得下列矩阵特征值问数，按自然次序离散化以二阶均差代替二阶导,25.0,12uBuh的根，而且有的问题）（次运算准确求解方程因为一般不能通过有限0.,方法通常采用迭代法因此特征值问题的数值特征向量只需要求部分特征值和在电磁学、机械和结构振动等问题也会遇到类似的固有值、临界值等问题，所以特征值的计算有重要意义。华长生制作38.1乘幂法和反幂法乘幂法个特征值满足的设矩阵nRAnn*,.......21n,.,......,,121为主特征值称模最大的特征值线性无关个特征向量对应的nxxxn.1为主特征向量称对应的特征向量x乘幂法用于主特征值和特征向量.它的基本思想是任取一个非零的初始向量构造一向量序列由矩阵Av,0.....2,1,01kvAAvvkkk可表示为由假设0v.....22110nnxxxv华长生制作4(),klkvv若记为的第l个分量则有ikiinikkxvAv10),(])([11112111Kkikiinikxxx1111111()(),()()klklklklvxvx1112111110,0lim0lim,limnkkiiilikkkklkkkkilxxvvxv其中.若，则由知。似于主特征值。对应非零分量的比值近的与近似于主特征值，充分大时，可见，当kkkvvvk1华长生制作5趋于零，时，〈范化。因为当需要对计算结果进行规在实际计算中kv1,1或上溢。从而计算时会出现下溢的非零分量趋于无穷。时当kv,11我们有这样其中记对为此,.,)max(,),......,,(,21iinTnzzRzzz如下幂法的实用的计算公式:。,...2,1),max(/,,0100kvvuAuvuvkkkkk(1）(1,2,...,)nniARin12n定理8.1设的特征值满足,对01(1,2,...)niiiinxinvx应的个线性无关的特征向量为，给定初值向量，101，则由（）生成的向量序列有。111)max(lim,)max(limkkkkvxxu华长生制作6:(1证由）。vAvAuvAvAvkkkkkk)max(,)max(00010而)](max[)()max(),(])([11111100111121110kkkkkkkkkikiinikkxxvAvAuxxxvA。)()max()max(111111kxxxxkk同理,可得到。)()max()max()max(,)max()()](max[)(111111111111111111111kxxvxxxxvkkkkkkkkkk定理得证。华长生制作721,/A由定理的证明可见幂法的收敛速度由的大小确定。若的特征值121...rrr不满足前面条件，将有不同的情况。如，且，j=r+1,,可以作类似的分析对特征向量和特征值有。111)max(lim,)max(limkkiiriiirikkvxxu,ku可见仍收敛于一个主特征向量。对特征值的其他情况，参看书上说明。例用幂法求矩阵225.05.025.0115.011A的主特征值和主特征向量.华长生制作80:(1,1,1),(1Tu解取初始向量按）的计算结果如下表。K0(1.0000,1.0000,1)1(0.9091,0.8182,1)2.75000005(0.7651,0.6674,1)2.588791810(0.7494,0.6508,1)2.538002915(0.7483,0.6497,1)2.536625620(0.7482,0.6497,1)2.5365323Tku)max(kv,5365258.2)8(1分别为位数字的准确值的主特征值和特征向量矩阵A位有次后，所得的主特征值。可见迭代520)1,64966116.0,74822116.0(*1Tx有效数字。华长生制作9乘幂法的加速技术000121ii10A,r11BApI,pABp,AB,1,2,,.A,j2,jjnjin0j1ii由前面的讨论知，应用乘幂法计算的主特征值的收敛速度取决于比值r=表示满足的那个下标。当但接近于时，收敛可能很慢，下面接受两种加速收敛的方法。一、原点平移法设这里为可选择的参数。当的特征值为时，的特征值为且与有相同的特征向量x若的主特征值为则要选112211p1pB,2,3,,;2max.jjjnppjnpp择适当的参数，使其满足是的主特征值，即华长生制作10111BB..pAGerschgorinAnn1An,1,2,,2Aniiiijjjiparain对应用乘幂法，使得计算的主特征值的过程得到加速这种方法通常称为原点平移法参数的选取有赖于对的特征值分布的大致了解。可以通过盖尔园定理得到矩阵的特征值分布。定理圆盘定理设为实矩阵，则的每一个特征值必属于下述个圆盘(称为盖尔圆）的并集之中；由矩阵的所有盖尔圆组成的连通部分中任取kAk一个，如果它是由个盖尔圆构成，则在这个连通部分中有且仅有的个特征值（盖尔圆相重时重复计算，特征值相同时也重复计算）。华长生制作11即为对应的特征向量的任意一个特征值为设证,0,:xA。0)(xAI,0,max,),.....,,(21ikiTnxxxxxxx则记。jijnijjiiixaxa,1)(有由于),(1/ijxxij./ijijijijijiiaxxaa从定理的证明可见,如果一个特征向量的第i个分量按模最大,则对应的特征值一定属于第i个圆盘中.利用定理,我们可以由A的元素估计特征值的范围.A的n个特征值均落在n个圆盘上,但不一定每个圆盘都有一个特征值.(1)得证，（2）的证明略。华长生制作12称对于任一非零向量阶实对称矩阵为设定义,,:1.7xnA),(),()(xxxAxxR为对应于向量x的Rayleigh商.定理8.3设A为n阶实对称矩阵,其特征值都为实数,排列为12n02211,0,kkkkVVRUokU是由规范化乘幂法得到的向量序列，则对任意的当充分大时，有二、瑞利（Rayleigh)商加速法华长生制作13反幂法,0...121nn满足，，的特征值则112111.....,nA,.....11111nn111nAAA即是的主特征值。因此，对应用乘幂法可得矩阵的按模最公式为量，称为反幂法，计算小的特征值及其特征向。....2,1),max(/,,01100kvvuuAvuvkkkkk1kkkvAvu在上式中，向量可以通过解方程组得到。满足奇异矩阵，它的特征值nnAR反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量。设为非(2)(3)华长生制作14*(1,2,.....,)(2),nniARin定理：设非奇异矩阵的特征值满足。给定初始向量个线性无关的特征向量并且有对应的),...,2,1(nixni01,0,(3)niinivx则由生成的向量序列有。nkknnkkvxxu1)max(lim,)max(lim反幂法的一个重要应用是利用“原点平移”，求指定点附近的某个特征值和对应的特征向量。,,...,2,1,)()(11nipPIAi存在，显然其特征值为如果矩阵的一个的特征值是。如果对应的特征向量仍然是jiApnix),...,2,1(近似值，且,,ijppij11()()ipAPI即是的主特征值，可用反幂法计算相应的特征值和特征向量，计算公式为华长生制作15。,....2,1),max(/,)(,0`1100kvvuuPIAvvukkkkk(4)(1,2,...,)nniiARinx定理设的特征值对应的特征向量1(1,2,...,)(2),()iinpAPI线性无关，为的近似值，满足存在。01,0,(4)nkkikvx给定初始向量则由生成的向量序列有1lim,limmax()max()ikkkkiixuvxp。1[max()]kipv由该定理可知，是特征值的近似值，对应的近似特征max()/()kijijupp向量为。迭代收敛速度由比值来确定。(4)kv反幂法迭代公式中的是通过解方程组1)kkuvpIA（华长生制作16进行三角分解工作量，可以先将求得的，为了节省计算)(PIA,)(LUpIAP为排列阵。其中P很般征值分离情况较好，一的一个较好的近似且特是只要选择的iP是较好的：选选择实验表明，按下述方法小，收敛将是较快的。00uv使0u,)1,...,1,1(011TPuLUv。用回代求解可得1v例用反幂法求下列矩阵的接近于P=1.2679的特征值(精确特征值),5()333位浮点数进行计算用及其特征向量。410131012A华长生制作17分解为解将用列选主远元的三角分解pIA:,)(LUpIAP其中。ULP31029405.0007321.21017321.11,126807.07321.0010001,001100010得由TUv)1,1,1(1。，），，TTuv)26795.0,73198.0,1(8.34003.929012692(11得由12PuLUv。TTuv)26796.0,73206.0,1(,)4.5467,14937,20404(22华长生制作18的近似值由此可得特征值)2679492.1(3。267949.12040412679.1对应的特征向量是3。TTx)26795.0,73205.0,1()32,31,1(3的相当好的近似。是由此可见32,xu