第四章 控制系统的稳定性(2012)

©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China第四章控制系统的稳定性分析©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China第四章控制系统的稳定性分析1．稳定性概述2．李亚普诺夫稳定性判别定理3．线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法4．非线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China概述稳定性：系统受到外界扰动偏离原来的平衡状态，在扰动消失后，系统自身有恢复到平衡状态的一种倾向。A(b)unstablependulumAAA″(a)stablependulum©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China概述经典控制理论对稳定性描述局限于研究线性系统；局限于对系统外部稳定性的描述；Routh和Nyquist判据。现代控制理论采用的稳定判别是李亚普诺夫稳定性判据稳定判据可用于线性或非线性系统；研究系统的外部稳定性和内部稳定性。©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China1.线性系统外部稳定的定义零初始条件下，对于任意一个有界输入，若系统所产生的相应输出也是有界的，称该系统是外部稳定的，简称BIBO（BoundedInputBoundedOutput）稳定。•2.系统渐进稳定，则BIBO线性控制系统的外部稳定性（输出稳定）0)(dttg©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China•下列渐进稳定系统，输入有界：If)()(0stableallyAsymptoticAdttg)()(InputBoundedtallforRtrand)()()()()()()(000OutputBoundedRAdgRdtrgdtrgtytttThen©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China3.线性系统外部稳定的定义系统传递函数的所有极点在S平面的左半平面。线性控制系统的外部稳定性（输出稳定）Stabilityins-planeStableUnstableMarginallystable©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China4.MIMO系统的外部稳定性系统外部稳定的充分必要条件是输入与输出之间的传递函数矩阵中的所有元素的极点全部位于S平面的左半部。线性控制系统的外部稳定性（输出稳定）xAxBuyCx&AsIBAsICBAsICswyu*)()()(1©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China动态系统的内部稳定性所有状态均稳定？线性系统可以分析极点。非线性系统如何分析？1.基本概念2.李亚普诺夫稳定性定义3.稳定的范围4.内部稳定与外部稳定的关系©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China（1）平衡状态的定义系统状态方程为。若系统存在一个状态xe对任意时间t都有则称状态xe是系统的一个平衡点。物理意义:所有状态的变化速度为零，即状态不变，故称平衡点。基本概念),()(txftx0),()(txftx©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China（2）平衡状态的计算平衡状态即为代数方程组的解。线性定常系统的平衡状态：当A是非奇异时，则Ax=0有唯一零解，所以平衡状态是唯一的且在原点。非线性系统的平衡状态：可能存在一个或多个平衡状态。基本概念0),(txf,10,10,0000321322113221211eeexxxxxxxxxxxxx©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China（3）状态向量x的范数（用于表示状态偏移平衡位置的度量）向量x的长度称为向量x的范数，可以表示为：状态向量x到平衡点xe的范数：当范数限制在某一范围之内时，可以表示为用此概念来描述状态和平衡状态的距离。2122221)(xxxxxxTn2222211)()()(neneeexxxxxxxxexxexx©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China2.李亚普诺夫稳定性定义用状态向量到平衡点的范数来表示系统在n维空间运动过程中随时间推移状态向量与平衡点之间的距离变化。存在以下三种情况：(1)渐近稳定(2)李亚普诺夫意义下的稳定(3)不稳定©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China对于系统，若任意给定实数，都存在另一实数。从任意初始状态出发的解满足,则称系统在平衡状态是李亚普诺夫意义下的稳定。几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量x(t)距平衡点的距离可以维持在一个确定的数值内。即系统响应的幅值是有界的。),()(txftx00(,)0t000exxxx),,(00txt)(),,(000ttxtxte(1)李亚普诺夫意义下的稳定©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China对于系统,若任意给定实数，都存在另一实数，使得当时,从任意初始状态出发的解满足。且对于任意小量，总有，则称系统在平衡状态xe是渐近稳定。几何意义：初始状态有界，状态x(t)始终有界，且随时间推移无限接近平衡点。),()(txftx00),(0texx0),,(00txt)(),,(000ttxtxte0etxtxt),,(lim00(2)渐近稳定0x©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China(3)不稳定如果对于某个实数和任一实数，总存在一个初始状态x0（至少有一个），当时，使得则称平衡状态不稳定。几何意义：至少有一条轨线，不论初始状态离平衡点多近，随时间推移解向量x(t)距平衡点的距离越来越远。00exx0)(),,(000ttxtxte©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China几点说明•非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念。•通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说，发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。•对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则平衡状态称为大范围渐近稳定。•大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China•如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域。对于实际问题，能否确定一个足够大的渐近稳定的吸引域，以致扰动不会超过它，如稳定步行的吸引盆。•在经典控制理论中稳定性概念，与Lyapunov意义下的稳定性概念是有一定的区别的，例如，在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统。在经典控制中的临界稳定系统，在Lyapunov意义下是稳定的。两者的区别与联系如下表所示。©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China4.内部稳定与外部稳定的关系(1)内部稳定的系统外部一定稳定；(2)外部稳定的系统不能保证内部稳定；(3)完全能控和能观系统，则外部稳定与内部稳定等价。©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China李亚普诺夫稳定性的判别定理1、二次型函数2、李亚普诺夫第二法分析系统稳定性3、应用举例©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China1.二次型函数的一般概念定义：代数式中一种多项式函数，每一项的次数都是二次，则称该函数为二次型函数（标量函数）。矩阵形式：如果d=e=f=0，标准二次型：222123121323()vxaxbxcxdxxexxfxx3213215.05.05.05.05.05.0)(xxxcfefbdedaxxxPxxxvT22221212100)(nnnTcxbxaxxxxcbaxxxPxxxv©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China对于二次型函数，若为实对称阵，则必存在正交矩阵T，通过变换，使之化成：112()()00TTTTTnvxxPxxTPTxxTPTxxx()TVxxPxxTx©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China111212122212nnnnnnppppppppppLLMMOML11121212221112112212212,,nn1nnnnnpppppppp=ppppppLLMMOML矩阵的各阶主子式：©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China二次型函数的符号性质•正定，即，有系数矩阵P的各阶主子行列式均大于零，即。•半正定，即，有P的各阶主子行列式均大于或等于零，即。0,0)(0,0)(xxvxxv),2,1(0nii0,0)(0,0)(xxvxxv),2,1(0niiP0©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China•负定：时，系数矩阵的各阶主子行列式均满足下列条件，即。•半负定：时，系数矩阵的各阶主子行列式均满足下列条件，即。•不定：不满足上述任何一种条件的二次型函数，即可正也可负。0,0)(0,0)(xxvxxv)5,3,1(0)6,4,2(0iii0,0)(0,0)(xxvxxv)5,3,1(0)6,4,2(0iii©2010SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,China2.李亚普诺夫第二方法（研究平衡点在原