借对称求最短距离

万变不离其宗---借轴对称求最短距离B·lA·B′C最短距离问题考查知识点：“两点之间线段最短”,“点关于轴对称”。生活中的原型：“建奶站问题”，“牧马人饮马问题”等。出题背景变式：有角、三角形、菱形、正方形、圆、坐标轴、双曲线、抛物线等。解题总思路：（不变的“宗”）：找点关于轴的对称点，实现“折”转“直”.在北师版七年级数学（下）的第123页上：如图，要在街道旁修建一个奶站，分别向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？数学模型1数学问题1已知：直线L和L的同侧两点A、B求作：点C，使C在直线L上，并且AC＋CB最小。∴BC+ACBC’+AC’，即AC+BC最小．LBACA'C'∵直线L是点A、A’的对称轴，点C、C’在对称轴上，∴AC=A’C，AC’=A’C’．在△BA’C’中，BA’BC’+A’C’，∴BC+AC=A’C+BC=A’B．∴AC’+BC’=A’C’+BC’做法：作点A关于直线L的对称点A'，连接A'B与直线L相交于点C，连接AC，则AC+BC最短。则点C就是奶站的位置依据？：以此题为“宗”的题目可以说层出不穷，如：1.在正方形中探求线段和的最小值例1：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为N连接BM交AC于N，连接DN，可得BN=DN，因此DN+MN=BN+MN=BM.变式1：如图所示，正方形ABCD的面积为36，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为()面积为36，所以AB=BE=6变式2：如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______2.在圆背景下探求线段和的最小值例2：如图，AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上,弧AD=2弧CD，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值是.PADCOB变式：已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．2.在圆背景下探求线段和的最小值3.在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例3：在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=___时,AC+BC的值最小．3.在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值变式1：一次函数y=-2x+4的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4),O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．令X=0得，Y=1，所以P点（0.1）变式2：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与Y轴交于点C。且对称轴为直线X=-1，其中A点（-3,0），C点（0，-2）（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．ACxyBO（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．4、在角的背景下探求线段和的最小值例4：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.变式：如图，点P在∠AOB内部，且∠AOB=45°,OP=2cm,在射线OA、OB上找点C、D，使PC+CD+DP之和最小。思考:你能求得出PC+CD+DP之和最小为多少吗？数学模型2如图：C处为马棚，D处为帐篷，牧马人某一天要从马棚牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定所走的最短路线。•数学问题2•如图：C、D在∠AOB的内部，在OA、OB上分别找点•G、H，使得CG+GH+DH最短作法：1.作点C关于直线OA的对称点点F,2.作点D关于直线OB的对称点点E,3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD··CEGH例题：在直线m、n上分别求点M、N,使得四边形PQMN的周长最小nmPQ变式1:如图点A（a，1）、B（－1，b）都在双曲线(x0)上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ在直线的解析式是（）.A.y＝xB.y＝x＋1C.y＝x＋2D.y＝x＋33yx变式2：(2016贵阳)25.如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B.（1）求二次函数的表达式；（2）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标.我的收获：[课堂小结]1、构建“对称模型”实现折转直PNPP2.关键：作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，从而利用“两点之间，线段最短”来解决测试题：在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。