第五章 优选法

第五章优选法5.1单因素优选法Y＝f（x），x在（a，b）内求y的极值的问题。但f（x）形式未知。5.1.1来回调试法假定f（x）在（a，b）内仅有一个峰，取ax1x2b，看试验结果，有三种情况：y1y2、y1＝y2和y1y2y1y2时说明峰不在（x2，b）范围内，再在（a，x2）内取x3，对应试验值y3。y1y2时说明峰不在（a，x1）范围内再在（x1，b）内取x3，对应试验值y3。y1＝y2时说明峰在（x1，x2）范围内，再在（x1，x2）内取x3、x4，对应试验值y3、y4。每次都是比较中间两点对应的y值，舍弃y值较低的x及其相邻的边界之间的范围，n次后y达到最优，或三次y值相差不大为止。但是如何选点x1、x2的位置，才能用最少的试验次数最快达到最优结果？5.1.2黄金分割法（0.618法）x1、x2的位置取（a，b）的0.618和0.382处。例题：钢中加入某种元素能够提高钢的硬度，1吨钢中该元素的加入量在1000～2000g之间，如何通过试验尽快找到最佳值？x硬度y结果1618138214721528……6.27.88.07.2舍弃1618～2000，再取1000～1618的黄金分割点。舍1000～1382，取1382～1618舍1528～1618，取1382～1528……5.1.3二分法当我们做一次试验就能得到下一步试验的方向时，可以用二分法更快地接近目标。例：某厂生产溴樟脑，原来按1：1氯仿：樟脑使樟脑溶解后反应，产品合格，但需要蒸馏回收溶剂氯苯，才能使产物结晶。故减少氯仿用量0.5：1,合格；0.25：1合格；0.13：1合格；0.06：1溶解不完全，所以用0.13：1投产，大大降低成本，而且去掉了回收工序，产品自然结晶。5.1.4抛物线法先做三次试验x1、x2、x3对应得到y1、y2、y3，用y＝a0＋a1x＋a2x2，回归得到a0、a1、a2，求出极值对应的x4，预测y4’，由x4点试验得y4，再用y1～y4中最大的三个y重新拟合，求极值，直到y达到要求或y与预测值基本吻合。需要注意的问题某些因素A不能大规模调整时，可以先在原来的生产条件下在A减小的方向上跨一小步，看效果，好就继续；不好就反向跨一小步；遵循先小步再大步再小步的原则，逐渐接近最优。多峰情况：做分布较均匀的疏松试验，看是否多峰，把每个峰都找出来。5.2多因素优选法5.2.1单因素轮换法固定x2、x3……xn，只改变x1，按单因素寻优法找到x1的最佳值，x1固定在最佳条件下，改变x2，找x2的最佳……，找到xn的最佳后，返回来再找x1的最佳……直到x1……xn的条件都不再改变。5.2.2对开法axb，在(a+b)/2的位置用单因素找最大值P，cyd，在(c+d)/2的位置用单因素找最大值Q，有三种情况：PQ,PQ,P=QPQ舍弃下半部分。PQ,舍弃左半边P=Q，只留PQ共同所在象限如此再找剩下部分的中线，找最佳值，再比较，舍弃一半……直到P、Q非常接近，可以认为是同一点。5.2.3旋升法5.2.4平行线法两个因素中，有一个不易调整，将不易调整的Y分别取0.618和0.382处，找到各自条件下的x的最佳点P(0.618)、Q(0.382)，比较P、Q两点对应的Y值，舍弃小值以外的部分，再取剩余部分的0.618处……5.3单纯形法单纯形：在n维空间里，由n+1个顶点构成的凸多面体。若凸多面体的边长相等，则为正规单纯形。如：二维空间的单纯形为三角形，正规单纯形为等边三角形；三维空间的单纯形为四面体，正规单纯形为正四面体；n维空间内的单纯形为超四面体。单纯形原理如二因素实验，首先选三个点，并比较其响应值，响应最差的以W表示；次差的为N；最好的记为B。P为NB的中心，称为重心。称R为W关于P点的反射点。这种做法叫反射，将点W去掉，得到一个新的单纯形BNR，仍按好、次坏、最坏记为BNW重复操作。可使单纯形移向响应最大的区域。P=(N+B)/kk一般取2R=P+(P-W)×αα一般取15.3.1初始单纯形的构造a.给定某一顶点和步长，构造正规初始单纯形首先根据化学知识和经验确定初始顶点x1(x11、x12…x1n)，并对每一个因素选一步长aj，为保证后继实验中各单纯形边长相等，这个步长与各因素中的变化范围的比值应相同。)px,qx,q(xx)qx,px,q(xx)qx,qx,p(xx)x,x,(xx1)1n(2naqa(1)n1n(2napn1n212111nn1n2121113n1n21211121n12111jjjjj为步长）b.黄金分割法构造初始单纯形前提：知道各因素的范围。首先将各因素按黄金分割分为两个水平：0.382水平和0.618水平，计算出A1/2=(A1+A2)/2。按表构造初始单纯形。ABCDE1A1B1C1D1E12A2B1C1D1E13A1/2B2C1D1E14A1/2B1/2C2D1E15A1/2B1/2C1/2D2E16A1/2B1/2C1/2D1/2E2c.根据均匀设计表构造初始单纯形。ABCd1123422413331424432155555例题设有一光度分析体系，现需研究A：盐酸浓度0.1-1.0mol/L,B：温度：25-85℃，C:反应时间：10-70min，D:显色剂浓度1.0-4.0对该反应的影响，用上述三种方法分别构造初始单纯形。构造正规单纯形设步长取因素水平范围的2/3，则aj＝（0.6，40，40，2.0）选初始顶点为（0.2，30，15，1.5）iiiiiiaaqaap2185.0)15(249256.0)35(24)9.1,7.23,67,3.0()22185.05.1,402185.015,409265.030,6.02185.02.0(),,(3.)9.1,7.23,7.38,8.0()22185.05.1,402185.015,402185.030,6.09256.02.0(),,(2.414313,212111414313,212111qxqxpxqxNoqxqxqxpxNoNo.ABCD10.230151.520.838.723.71.930.367.023.71.940.338.752.01.950.338.723.73.4黄金分割法构造初始单纯形5.285.215.24047335562618.0)2585(2548382.0)2585(2555.07.0618.0)1.00.1(1.04.0382.0)1.00.1(1.02/1212/1212/1212/121DDDCCCBBBAAANo.ABCD10.448332.1520.748332.1530.5562332.1540.5555472.1550.5555402.85均匀设计法构造初始单纯形各因素的五个水平为A(0.2，0.4，0.6，0.8，1.0)B(30,40,50,60,70)C(20,30,40,50,60)D(1.5,2.0,2.5,3.0,3.5)No.ABCD10.240403.020.460202.530.630502.040.850301.551.070603.55.3.2单纯形的移动除初始单纯形外，每次单纯形的移动均是在观察各点处的响应之后进行。单纯形的移动是在舍弃系统的最差响应点之后进行，有时会因此导致单纯形振荡，引入规则三。新单纯形中若反射点为最坏点，此时将反射点保留，将次坏点舍弃，取次坏点N的反射点R构成新单纯形BNR。若某一顶点在运用规则二前得以保留，则在保留点处重复做实验，若保留点真正接近最佳值，重复实验结果仍较佳；若是由偶然误差引起，则结果可能降下来。若最佳响应点靠近边界，则单纯形移动中可能超出自变量范围。若新的顶点超出允许范围，则将此点赋以最坏的响应值，强迫此点回到正常范围。WBNRP单纯形法的不足：a)移动过程中不能加速，实验次数仍然较多。b)由于噪声存在，同一实验的不同次测定结果可能不同，但由于基本单纯形不做重复实验，无法区分目标值的改变，是由于固有规律引起，还是由噪声引起，从而可能使单纯形沿错误的方向移动。c)运用规则五，是将一最坏值赋以超出允许范围的顶点而强行使之回到正常范围的行为，并且舍弃最坏点，若次坏点处的反射点处系统的响应更差，则有可能使单纯型移不到最优区域，此时单纯形应被迫停止，并将步长变小，在边界处重新开始。5.3.3改良单纯形法若反射点R处系统的响应优于B点处的响应，则说明反射方向正确，应予扩展，所以将反射点扩展到E。顶点E的坐标：E=P+2*(P-W)。若E点处的响应优于B点处的响应，则保留E点，构成一个新单纯形BNE；若E点处的响应差于B点处的响应，则扩展失败，仍以BNR为单纯形。若R点的响应优于N点，但差于B点的响应，yByRyN，则此时既不扩展也不压缩，以BNR为新单纯形继续寻优。若yRyN，此时反射点R不能构成新单纯形，应该压缩。若yWyyN，则压缩应靠近R点处，此时压缩点为CR,称为正压缩：CR=P+1/2(P-W)若yRyW，压缩应靠近W处，压缩点为CW，称为负压缩。CW=P-1/2(P-W)。若yCWyW，称为压缩失败，此时应将单纯形大幅度缩小。这有可能会使单纯形过早结束于非最优区域。若yCRyR，则舍弃单纯形BCRN，以次最坏点N作反射R’，得到新的单纯形BCRR’。若yCWyW，舍弃单纯形BCWN中的顶点N，由N反射到R’’,得到新的单纯形BCwR’’成功收缩失败收缩’R’’CRCRCRCWCWCW5.3.4单纯形迭代的结束可以根据事先给定的条件，若条件已满足，则结束。如产率已经达到理论极限值，则可以停止；色谱峰已经分开，可以停止。若不清楚最优响应是什么，则当迭代中两次差值达到规定误差时可以停止。单纯形实例例题5.1实例2设有一光度分析体系，现要研究酸度A、温度B、反应时间C、显色剂浓度等分析条件对显色反应的影响，试用单纯形法寻求最佳条件。终止条件为单纯形最佳点响应值大于99%。各因素的水平取值范围因素HCl(mol/L)T(℃）T（min）显色剂（%）水平范围0.1-1.025-8510-701-4单纯形的移动是指标最坏点W对去掉最坏点后的重心进行反射得到R点。（链接）)XXXXn1XPCWPCRPEPRPPR1nwi1iiP时负压缩：时正压缩：时扩展：时正常反射：（本章重点黄金分割法二分法对开法单纯形法下章内容：正交试验设计用比单纯形更少的试验次数，得到更多的试验结果，敬请关注。