2第二章__控制系统的数学模型(1、2、3节)

线性系统的数学模型2-2线性系统的输入—输出传递函数描述2-3非线性数学模型的线性化2-4典型环节的数学模型第二章线性系统的数学模型2-1线性系统的输入—输出时间函数描述2-5建立数学模型的实验方法简介2-6框图及其化简方法2-7信号流程图线性系统的数学模型数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间相互关系的数学表达式。有了数学模型，就可以应用一定的数学方法对系统的性能进行定性分析和定量计算，乃至对系统进行综合和校正。对线性定常系统，微分方程是最基本的数学模型，最常用的数学模型是在此基础上转换来的传递函数和动态结构图。建立数学模型的方法有机理分析法和实验辨识法两种。线性系统的数学模型2-1线性系统的输入—输出时间函数描述线性系统微分方程的编写步骤：1、确定系统或环节的输入量和输出量，选取必要的中间变量。2、从输入端开始，根据决定各变量之间相互关系的物理、化学等定律，一一写出相关变量的微分（或代数）方程式。3、消去中间变量，写出只含有系统输入和输出变量的微分方程。线性系统的数学模型4、将结果标准化，即含输出量的项写在等式左边，含输入量的项写在等式右边，且都按微分的高阶到低阶排列。其形式为：)()()(11)()()()(11)(110110trbtrtddbtrmtdmdbtrmtdmdbtcatctddatcntdndatcntdndammnn线性系统的数学模型把②代入①，并进行整理得：解：(1)确定输入输出量和中间变量ru输入cu输出rucuRCi[例1]：写出图示一阶RC电路的微分方程。这是一个线性定常一阶微分方程。(2)列写微分方程cruiRu①dtduCic②(3)消去中间变量rccuuudtdRC线性系统的数学模型并进行整理得：解：(1)确定输入输出量[例2]：写出二阶RC网络的微分方程。这是一个线性定常二阶微分方程。(2)列写微分方程111uiRur(3)消去中间变量dtduCdtduCic2111ccudtduCRu221rcccuuudtdCRCRCRudtdCCRR)(212211222121rcccuuudtdTTTudtdTT)(3212221令R1C1=T1，R2C2=T2，R1C2=T3。uru1R1C1i1ucR2C2i2ru输入cu输出线性系统的数学模型消去中间变量可得：问题：[例2]：写出二阶RC网络的微分方程。显然，这个结果是错误的。这是为什么呢？这是一个两级的RC网络，能否先写出两个单级RC网络的微分方程，再消去中间变量，从而得到整个网络的微分方程呢？我们来试一下，由上例结果可得：1111uudtdCRurccuudtdCRu221rcccuuudtdCRCRudtdCCRR)(2211222121uru1R1C1i1ucR2C2i2ru输入cu输出线性系统的数学模型在列写电路的微分方程时，必须考虑到后级电路是否对前级电路产生影响。这种后一级对前一级的影响称为负载效应。例2中，只有当后级R2C2网络的输入阻抗很大时，对前级的影响才可以忽略不计。线性系统的数学模型把②代入①，并进行整理得：解：(1)确定输入输出量iu输入ou输出iuouLRCi[例3]：写出RLC串联电路的微分方程。这是一个线性定常二阶微分方程。(2)列写微分方程oiuRidtdiLu①dtduCio②(3)消去中间变量iooouuutddRCutddLC22线性系统的数学模型[解]：画出小车受力图。[例4]：求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。K为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数，忽略小车与地面的摩擦，试写出以外力F为输入，以位移y为输出的系统微分方程。阻尼器阻力为dtdyf由牛顿运动定律，有Ky弹簧力为ytddmydtdfKyF22∴该系统微分方程为：FKyydtdfytddm22线性系统的数学模型这些都是线性定常二阶微分方程，即这些系统具有相同形式的数学模型。此类物理性质不同，但具有相同数学模型的系统称为相似系统，在微分方程中对应相同位置的物理量称为相似量。二阶RC网络：rcccuuudtdTTTudtdTT)(3212221RLC串联电路：iooouuutddRCutddLC22弹簧-阻尼-质量系统：FKyydtdfytddm22线性系统的数学模型相似系统中的相似量机械系统电气系统液力系统热力系统力F（力矩T）电压u水位H温度θ速度v电流i流量Q热流量h阻尼系数f电阻R液阻R热阻R弹性系数K电容C液容C(截面积A)热容C质量m（转动惯量J）电感L线性系统的数学模型微分方程是描述线性系统的一种基本的数学模型，在确定的初始条件和输入信号作用下，通过对微分方程的求解，便可得到系统的输出响应，从而分析评价系统的性能，研究系统参数的变化对性能的影响。但是高阶微分方程的求解是比较困难的，而且分析系统的结构参数对性能的影响也十分不便。所以对系统进行分析和设计时，通常采用另外一种数学模型——传递函数。线性系统的数学模型2-2线性系统的输入—输出传递函数描述传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以：1、不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。2、了解系统参数或结构变化对系统动态过程的影响——分析3、可以把对系统性能的要求转化为对传递函数的要求——综合线性系统的数学模型由微分方程转换为传递函数的数学工具是拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。0)(dtetfst)]([)(tfLsF=1、定义：如果以时间t为自变量的函数f(t)当t≥0称为函数f(t)的拉氏变换，记作。敛，则由此积分所确定的函数时有定义，且积分在s的某一域内收0)()(dtetfsFst式中s为复变量。一、复习拉氏变换线性系统的数学模型一个函数存在拉氏变换的条件是：（1）当t0时，f(t)=0；（2）当t≥0时，f(t)分段连续；（3）当t→∞时，f(t)的上升较est慢。我们在自动控制系统中遇到的函数大多满足以上条件。线性系统的数学模型f(t)——原函数，F(s)——象函数。记为拉氏反变换。)]([)(1sFLtf拉氏变换是一种单值变换。f(t)和F(s)之间具有一一对应关系。由于是一个定积分，所以F(s)0)(dtetfst只是复变量s的函数。拉氏变换将原来的实变量函数f(t)转化为复变量函数F(s)。线性系统的数学模型1101(t)单位阶跃函数t它的拉氏变换为：sesdtedtettLststst11)(1)](1[000即单位阶跃函数的拉氏变换为s1例：求单位阶跃函数的拉氏变换。1(t)=1t≥00t0拉氏变换的象函数与原函数是一一对应的，所以通常可以通过查表来求取象函数。线性系统的数学模型)()()]()([2121sFsFtftfL)0()0()()]([2fsfsFstfL)0(...)0()0()()]([)1(21)(nnnnnffsfssFstfL2、性质：(1)线性性质(2)微分定理)0()()]([fssFtfL线性系统的数学模型)()]([2sFstfL)()]([)(sFstfLnn(2)微分定理)()]([ssFtfL则在零初始条件下，0)0()0()0()1(nfff上式表明：在初始条件为零的前提下，原函数的n阶导数的拉氏变换等于其象函数乘以sn。利用这个定理就可以将微分运算转换为代数运算。线性系统的数学模型(3)积分定理ssFtdtfL)()(则上式表明：在零初始条件下，原函数的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以sn。在零初始条件下，0|))((|))((|)(0020tnttdttftdtftdtfnnnssFtdtfL)())((n线性系统的数学模型)(lim)(lim0ssFtfst(4)初值定理上式表明：原函数f(t)在t=0时的数值（初始值），可以通过将象函数F(s)乘以s后，再求s→∞的极限求得。线性系统的数学模型)(lim)(lim0ssFtfst(5)终值定理上式表明：原函数f(t)在t→∞时的数值（稳态值），可以通过将象函数F(s)乘以s后，再求s→0的极限求得。线性系统的数学模型)()]([sFetfLs(6)延迟定理)()]([sFtfeLt(7)位移定理)(][sFtfL(8)相似定理)()(])()([21021sFsFdftfLt(9)卷积定理线性系统的数学模型3、拉氏反变换由象函数F(s)求取原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。拉氏变换的象函数与原函数是一一对应的，所以通常可以通过查表来求取原函数。)]([)(1sFLtf线性系统的数学模型1、传递函数的定义线性定常系统的传递函数是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，记为：)()()(sRsCsG二、传递函数的概念线性系统的数学模型设线性定常系统的微分方程为：)()()(11)()()()(11)(110110trbtrtddbtrmtdmdbtrmtdmdbtcatctddatcntdndatcntdndammnn)~0,~0(,mjnibaji式中：r(t)—输入，c(t)—输出，为常系数，取决于系统的结构和参数。对于实际系统，n≥m。线性系统的数学模型n111m111)()()(asasasabsbsbsbsRsCsGnnn0mmm0在零初始条件下，对上式进行拉氏变换得：)()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn∴传递函数：线性系统的数学模型只要把微分方程中的微分算子用复dtd变量s表示，把c(t)和r(t)换成相应的象函数C(s)和R(s)，即可方便的求得系统的传递函数。反之亦然。线性系统的数学模型2、传递函数的性质传递函数的概念只适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。传递函数仅描述系统在零初始条件下输入和输出之间的关系，不反映系统内部中间变量如何传递。线性系统的数学模型物理性质不同的系统可以具有相同的传递函数；而在同一系统中，取不同的物理量作为输入或输出时，传递函数是不同的。传递函数是s的有理分式，分母多项式称为系统的特征多项式。一个实际的即物理上可以实现的线性集总参数对象，总有分子的阶次m小于或等于分母的阶次n。此时称为n阶系统。线性系统的数学模型3、传递函数的几种表达形式1）表示为有理分式形式：nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(式中：—为实常数，一般n≥m上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。jiba,线性系统的数学模型2）表示成零点、极点形式：)()()()()()()(11*00jnjimipszsKsPsQabsRsCsGizjp式中：称为传递函数的零点，00*abK——零极点增益称为传递函数的极点，也称为系统的特征根。将传递函数的分子、分母多项式变为首一多项式，然后在复数范围内因式分解，得：线性系统的数学模型njjmiinmsTssKsPsQabsG11)1()1()()()(jiT,分别称为时间常数，K称为放大系数显然：，,1iiz,1jjpTjnjimipzKK11*3）表示成时间常数形式：将传递函数的分子、分母多项式变为尾一多项式，然后在复数范围内因式分解，得线性系统的数学模型从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一