线性代数第四章非齐线性方程组

§6非齐次线性方程组有解的条件及解的结构方程组）。组（或对应的齐次线性称为(4.1)的导出0=线性方程组AX的系数矩阵相同的齐次(4.1)与非齐次线性方程组定义11AX的任意常数。的一个基础解系，0=是导出组AX，称为特解。是(4.1)的一个解其中，通解为多个解，时，(4.1)有无穷(3)解；时，(4.1)有唯一(2)；有解(1)广矩阵，则为(4.1)的增，(4.1)的系数矩阵矩阵A是线性方程组设定理10rnrnrnrnkkkXXXXXkXkXkXnArankrankAnArankrankAArankrankAAXAAAXns,,,,,,~~~),(~2121022110。量式子(4.1)可表示为向，增广矩阵的列向量组为，为证明：设A的列向量组nnnnxxxIII22112121)(,,,,)(,,,；得，，秩秩(II)等价。线性表出，故(I)与可由(II))线性表出，而(I)于是(II)可由(I可由(I)线性表出，解，必要性：(4.1)有ArankrankAnn~},,,{},,,{2121解。故方程组(4.1)有可由(I)线性表出，从而(III)线性表出，可由，关。由本章§2的例4)线性相，由秩的定义，(IVr即秩(IV)，组的秩，有由部分组的秩不大于全部分组，(IV)是(II)的则极大无关组，(III)是(I)的设，，则充分性：若rrrjjjjjjjjjnnrIIIVIIIrrrArankrankA,,,)()()(,,,,,,,},,,{},,,{~2121212121秩秩秩，秩秩；是(4.1)的唯一解，故0的解，=是导出组AX，，解意。对于(4.1)的任(特解)，有是(4.1)的一个解0只有零解。设=AX(4.1)有解，(2)0000000000XXXXAXAXAAXXAXnArankrankA,)(,~是(4.1)的解。，令反之，对任意常数；，即线性表出，0的解，可由基础解系=导出组AX是，由(2)，(3)0221102211012211022110210)(,,,,,,~rnrnrnrnrnrnrnrnrnrnXkXkXkAAXAXkXkXkXkkXkXkXkXXkXkXkXXXXXnrArankrankA是任意常数。其中的全部解，称为通解，是综上，rnrnrnkkAXXkXkXkX,,122110(4.1)的通解。得出的一个基础解系，就可特解和的一个，有解时，求出是)有解的充要条件同解。于是，(4.1与同解，β与，则AX化为阶梯形矩阵施行一系列初等行变换阵β(4.1)的增广矩一般地，对AX000BXBXBrankrankBBXAXBXBBAA~),(~),(~的通解。求线性方程组例124724232242243213214321xxxxxxxxxxx),(~~)()()()(BBA0620000412022010640000412021211864123604120212122447240322212131421204202232006422222432431432143432431xxxxxxxxxxxxxxxxxxArankrankA(0,1)分别代入的两组值(2,0),2个向量，将r-4又导出组得基础解系含。)(-2,-3,0,0X，得特解，解得令解同解方程组，于是原方程组有解。故AT0,,,~是任意常数。其中，于是原方程组的通解为。得基础解系2121221102110220214003210220214kkkkXkXkXXXXTT,),,,(,),,,(并求解。有解的充要条件，写出方程组例2414343232121axxaxxaxxaxx41332321413214321000011001010100100001100011000111001110001100011jjjjaaaaaaaaaaaaaaaA~k是任意的常数。为，方程组有解时，通解充要条件是，充要条件是的，方程组有解,~1111003333232141kaaaaaaarrrjjAAA12321xxax13)12(321xxax例设有线性方程组bxaaxx321)3((1)讨论a,b为何值时,方程组有唯一解,无穷多解,无解;(2)当方程组有无穷多解时,求出全部解(用向量表示).,~作初等行变换化简对增广矩阵解AbaaaaA3113121121~.~11000110121Bbaaa即时秩当秩,3~AA;,012方程组有唯一解时a当a=1时,12000100121~baB100001001211b;,3,~2,1,1方程组无解时当ArankrankAbak001全部解为,,32~,1,1方程组有无穷多解时当ArankrankAba.,011为任意常数k;,3,~2,1,1,方程组无解时当同理ArankrankAba;,2~,1,1无穷多解方程组有时当ArankrankAba通解为：,000001201211~B213212kX例7：k取何值时有唯一解,无穷多解或无解，有无穷多解时求出通解.1231232353218522kxxxxxkxkxx法2：利用Cramer法则1132(1)(3)012kDkkk2210131235111),(bA000022103101当时，1k当时，即且时，方程组有唯一解。0D1k3k时，当3k221033235113),(bA400022105113所以方程组无解。),()(bArAr