《2.1 从平面向量到空间向量》课件

《2.1从平面向量到空间向量》课件重点难点点拨2知能自主梳理3学习方法指导4思路方法技巧5探索拓研创新6名师辩误作答7课堂巩固训练8知能目标解读1知能目标解读•1．理解空间向量、自由向量、方向向量、共面向量、法向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法，能够区分平面向量和空间向量．•2．能利用空间向量的概念了解简单的向量和直线、向量与面之间的关系问题．•3．能够求解直线的共面向量、平面的法向量，求解简单的两个空间向量的夹角．重点难点点拨•本节重点：向量的有关概念．•本节难点：法向量、共面向量、共线向量．知能自主梳理2．空间向量的表示与平面向量一样，空间向量也有两种表示法．一种是用有向线段AB→表示，A叫作向量的起点，B叫作向量的终点；一种用a，b，c表示，也可用a→，b→，c→表示．•1．空间向量的概念•向量是既有大小又有方向的量，如果把问题的研究范围限定在同一个平面上，称之为平面向量；如果把问题的研究范围扩大到空间中，称之为空间向量．•即空间中__________________的量叫作空间向量．既有大小又有方向3．空间向量的长度和夹角(1)与平面向量一样，空间向量的__________也叫作向量的长度或模，用|AB→|或|a|表示．(2)如图所示，过空间任意一点O作向量a，b的相等向量OA→和OB→，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定__________________.大小0≤〈a，b〉≤π•当〈a，b〉＝__________时，向量a与b垂直，记作a⊥b.•当〈a，b〉＝__________时，向量a与b平行，记作a∥b.•由定义可知，两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．π20或π4．向量与直线直线的方向向量：如图，l是空间一直线，A、B是直线l上任意两点，则称AB→为直线l的方向向量．•5．向量与平面•(1)平面的法向量：如果直线l垂直于平面α，那么把__________________叫作平面α的法向量．•(2)共面向量：在空间中，如果_____________________________________，则称这个向量平行于该平面．平行于同一平面的一组向量叫作共面向量．•不共面向量：不平行于同一平面的一组向量叫作不共面向量．直线l的方向向量a一个向量所在直线平行于一个平面学习方法指导•1．空间向量是平面向量概念的拓展，只有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任意一点，只要保证它的大小和方向不改变，它是可以自由平移的，与起点无关．•2．空间中的所有向量的方向不都是一定的，例如零向量的方向就不确定，可以认为是任意方向．•3．与向量a相反的向量是一个向量，它的方向和a的方向相反，大小和a的大小相等．与向量a相等的向量，它的方向和a的方向相同，大小和a的大小相等．4．能平移到同一个平面内的向量为共面向量．由于向量可以根据需要进行平移，因此空间中任意两个向量都是共面向量，但空间中任意三个向量不一定共面．5．平面的法向量不唯一，但它们都是平行的；平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法向量．6．与AB→平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量．直线的方向向量平行于该直线．给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线．思路方法技巧•向量的有关概念给出下列五个命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间两向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中必有AC→＝A1C1→；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为()A．4B．3C．2D．1[解析]当空间两个向量的起点、终点分别相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量的起点不一定相同，终点也不一定相同，故①错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅它们的模要相等，而且方向也要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②不对；根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量AC→和A1C1→不但方向相同而且长度相等，故应有AC→＝A1C1→，所以③正确；④显然正确；对于⑤，空间任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，所以⑤不对．•[答案]C•[点评]本题重点考查了空间向量的相关概念，解决此类题往往借助实例和举反例的方法求解，因此，又考查了数形结合思想、特殊与一般的思想．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点H、M、G分别为线段EF、AD、BC的中点．(1)举出图中与向量AF→相等的向量；(2)向量EC→是否与HG→平行？(3)举出图中与向量BG→相反的向量．•[分析]两个空间向量相等是指它们的模相等且方向相同．向量的方向是否相同要看箭头方向是否一致．两空间向量平行与否与向量的方向无关．[解析](1)与向量AF→相等的向量有向量MH→和向量DE→.(2)由于点H、M、G分别为线段EF、AD、BC的中点，所以HG∥EC，即向量EC→与HG→平行．(3)与向量BG→相反的向量有GB→、CG→、MA→、DM→、EH→和HF→.•向量的夹角如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：(1)〈B1C→，AA1→〉；(2)〈CA→，DA1→〉．[解析](1)因为AA1→＝BB1→，所以将AA1→平移至BB1→处，则〈B1C→，AA1→〉＝〈B1C→，BB1→〉，大小为∠BB1C的补角．由正方体性质可得∠BB1C＝45°，故，〈B1C→，AA1→〉＝135°.(2)连接AB1，因为DA1→＝CB1→，所以将DA1→平移至CB1→，则〈CA→，DA1→〉＝〈CA→，CB1→〉大小为∠ACB1.由正方体性质知AC＝CB1＝AB1，所以△ACB1为正三角形，所以∠ACB1＝60°，即〈CA→，DA1→〉＝60°.[点评]求两向量夹角时，注意只有将两向量平移至起点相同处，得到的夹角才是所求．如第(1)问中，将向量AA1→平移至BB1→处，由于B1C→，BB1→的起点不相同，所以得到的∠BB1C为应求两向量夹角的补角．同学们注意体会！如图，M，N分别是棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′的棱BB′，B′C′的中点，求：(1)向量AB→与C′D′→的夹角；(2)向量MN→与D′A→的夹角．[解析](1)由正方体的性质可以得到AB→＝DC→，CD′→与CD→的夹角为45°，DC→与CD′→的夹角为135°.所以向量AB→与CD′→的夹角为135°.(2)连接BC′，M，N分别是BB′，B′C′的中点，所以MN∥BC′，又BC′∥AD′，因此向量MN→与D′A→共线反向，其夹角为π.探索拓研创新对于平行四边形ABDC，图中的五个向量中各个向量之间的关系如何？在图中画出平行四边形ABDC的一个法向量．•[分析]分析图中五个向量的关系，要看它们是否相等、相反或平行．作平面的法向量，只要作向量b，使之垂直于平面内两个相交向量即可．•法向量[解析]五个向量都在一个平面内，所以是共面向量．其中向量AB→与CD→长度相等且方向相同，所以AB→与CD→相等，向量AC→与DB→大小相等且方向相反，所以向量AC→与DB→相反，两向量也平行．法向量b如图所示．如图，三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，且SA＝AB＝BC，M为SB的中点．求证：AM→是面SBC的法向量．[解析]∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又AB⊥BC，SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.∵AM平面SAB，∴BC⊥AM①∵SA＝AB，M为SB的中点，∴AM⊥SB②由①②知，AM⊥平面SBC，所以AM→是面SBC的法向量．•方向向量已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是平行四边形，设面SAD∩面SBC＝l，如图，求证：向量BC→是l的一个方向向量．[解析]∵BC∥AD，BC平面SAD，AD平面SAD，∴BC∥平面SAD，又∵平面SBC∩平面SAD＝l，∴BC∥l，∴BC→是l的方向向量．•[点评]证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证直线与直线平行即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量，只要证明直线垂直于平面即可．都可转化为已学过的空间几何问题．•如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，•(1)分别给出直线AA1，BD的一个方向向量；•(2)分别给出平面ADD1A1，平面BB1D1D的一个法向量．[解析](1)直线AA1的方向向量可以是AA1→，BB1→，CC1→，DD1→，A1A→，B1B→，C1C→，D1D→中的任一个；直线BD的方向向量可以是BD→，B1D1→，DB→，D1B1→中的任一个．(2)平面ADD1A1的法向量可以是AB→，DC→，A1B1→，D1C1→，BA→，CD→，B1A1→，C1D1→中的任一个；平面BB1D1D的法向量可以是AC→，CA→，A1C1→，C1A1→中的任一个．名师辩误作答•[例5]下列命题中正确的是()•A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线•B．向量a，b，c共面即它们所在的直线共面•C．零向量没有确定的方向•D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb•[误解]A(或B或D)•[正解]C•[点评]在选项A中，若b＝0，则结论不成立；在选项B中，向量共面与直线共面的不同点在于三个向量中的一个向量所在直线与另两个向量所在平面平行时，三个向量所在的直线虽然不共面，但这三个向量是共面的；选项D中，若a＝b＝0时，有无数个λ满足等式，而不是唯一一个；若b＝0，a≠0，则不存在λ使a＝λb.[例6]下列命题是真命题的序号是________．①向量AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；②向量AB→与AC→是共线向量，则A、B、C必在一条直线上．•[误解]①②[正解]命题①为假命题，因为AB→、CD→两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上；命题②为真命题，因为AB→、AC→两个向量所在的直线有公共点A，所以三点共线．故填②.•[答案]②•[点评]我们所研究的向量为自由向量，所以平行向量就是共线向量，但是向量所在的直线却不一定共线，也有可能平行，关键是看这两个向量有没有公共点，如果没有公共点，那么对应的两条直线平行；如果有公共点，那么对应的两条直线重合．课堂巩固训练一、选择题1．下列有关向量的命题是真命题的是()A．所有的单位向量的模为1且共线B．若|a|＝|b|，则这两个向量的长度相等且方向相反C．若向量AB→，CD→满足|AB→|＝|CD→|且AB→与CD→同向，则AB→CD→D．若两个非零向量AB→与CD→满足AB→＋CD→＝0，则AB→与CD→平行•[答案]D[解析]A．单位向量模为1，但方向不同，不能确定共线，不正确；B.若|a|＝|b|，则a与b只有模相等，方向不确定，因此B不正确；C.若|AB→|＝|CD→|且AB→和CD→同向，则AB→＝CD→，因此AB→CD→不正确；D.由AB→＋CD→＝0，知AB→与CD→是相反向量，因此AB→与CD→平行．•2.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°.在所有棱所在的向量中，平面BB1C1C的法向量有()•A．0个B．2个•C．3个D．4个•[答案]D[解析]由于三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱且∠ACB＝90°，所以A1C1⊥平面BB1C1C，AC⊥平面BB1C1C，所以平面BB1C1C的法向量是：AC→，CA→，A1C1→，C1A1→，共4个．•3．空间中，起点相同的所有单位向量的终点构成的图形是()•A．圆B．球•C．正方形D．球面•[答案]D•[解析]根据模的概念知终点在以起点为球心，半径为1的球面上．•二、填空题•4．直线的方向向量与直线上任意一向量的夹角是________．•[答案]0°或180°•[解析]由直线的方向向量的定义易得．•[答案]120°5．在正四面体A—BCD中，AB→与BC→的夹角为________．[分析](1)AB→与BC→的夹角的大小和AB→与CB→的夹角